Position des Gradienten von Skalarfeld

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12.11.2006, 13:23	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Position des Gradienten von Skalarfeld Hallo, und gleich zur Sache: Habe ein Skalarfeld $\begin{eqnarray} \phi(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3xyz \end{eqnarray}$ In welchen Punkten ist der Gradient dieses Feldes: a) senkrecht zur z-Achse b) parallel zur z-Achse c) der Nullvektor? Habe erstmal den Gradienten gebildet $\begin{eqnarray} grad(\phi)=\begin{pmatrix} 3x^2-3yz \\ 3y^2-3xz \\ 3z^2-3xy \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann dachte ich mir zu a) der Gradient hat die Form $\begin{eqnarray} grad(\phi)=\begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b \neq 0 \end{eqnarray}$ zu b) $\begin{eqnarray} grad(\phi)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c \neq 0 \end{eqnarray}$ zu c) $\begin{eqnarray} grad(\phi)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Habe ich das so richtig verstanden? Wie immer vorweg.
12.11.2006, 13:48	Geistermeister	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler beim Ableiten von x²! Die Ableitung von x² ist: 2x! Und bei y und z genauso! Deine Ansätze für die Vektoren sind bei a), b) und c) richtig! Setze die Vektoren mit deinem Gradienten gleich und löse dann das Gleichungssystem nach den Variablen x, y und z auf!
12.11.2006, 14:05	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, hab mich vertan. Das Skalarfeld heißt $\begin{eqnarray} \phi(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz \end{eqnarray}$ Das Gleichungssystem für a) sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} a=3x^2-3yz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=3y^2-3xz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=3z^2-3xy \end{eqnarray}$ Da wird es natürlich mehrere Lösungen für x,y und z geben. Denn ich soll auch sagen, welche geometrischen Gebilde diese Punktmengen darstellen. Wie funktioniert das Lösen des Systems?
12.11.2006, 14:30	Geistermeister	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Lösen des Systems: Forme die untere Gleichung nach z um. Dann in die mittlere Gleichung für z einsetzen und dann nach y umformen.
12.11.2006, 15:11	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
also $\begin{eqnarray} b=3y^2-3x\sqrt{xy} \end{eqnarray}$ nach y umstellen da versagt sogar mein Taschenrechner!
12.11.2006, 15:27	Geistermeister	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Additionsverfahren hilft weiter! Untere Gleichung (III) mit z multiplizieren und mittlere Gleichung (II) mit y multiplizieren. II - III rechnen! Obere Gleichung (I) mit x multiplizieren und II mit y multiplizieren und I - II rechnen. Auch noch I - III rechnen. Dann erhälst du drei Gleichungen. Diese sind dann einfacher mit dem Einsetzen von dritten Potenzen einer Variable zu lösen.
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12.11.2006, 15:52	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. dann hab ich also $\begin{eqnarray} ax=3x^3-3z^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} by=3y^3-3z^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ax-by=3x^3-3y^3 \end{eqnarray}$ Da seh ich aber nicht wirklich eine Vereinfachung drin.
12.11.2006, 21:45	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht es denn mit der Lösung dieses Gleichungssystems aus? $\begin{eqnarray} 0=3x²-3yx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=3y²-3xz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=3z²-3xy \end{eqnarray}$ Und es geht dabei immer noch um die geometrische Deutung der Punktmengen der Lösungen.
12.11.2006, 22:01	Geistermeister	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung dieses Gleichungssystems finde ich selbst mit Additionsverfahren auch etwas zu kompliziert. Du kannst bei der oberen Gleichung durch x dividieren und dann die Beziehung x = y finden. Bei der mittleren Gleichung dann durch y dividieren und du erhälst: y = z ebenso: x = z Das Gleichungssystem ist nur wahr für c = 0!
12.11.2006, 22:08	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wären doch aber Aufgabe b) und c) identisch Für c) ist die Punktmenge ja auch eine Gerade, durch den Ursprung und den Punkt (x,y,z) mit x=y=z.

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