Konvergiert die folgende Reihe?

24.10.2010, 16:23	FlashyMo	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergiert die folgende Reihe? Hi Wollt wissen ob meine Denkweise richtig ist. Angabe: http://img841.imageshack.us/img841/6220/unbenannt2sr.jpg Lösungsweg: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n} = -1 ; 1 ; -1 ; ... \end{eqnarray}$ ... alternierende Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{n} > 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Leibnitsche Kriterium: Wenn $\begin{eqnarray} <a_{n}> \end{eqnarray}$ eine monoton fallende Nullfolge ist, so ist die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \end{eqnarray}$ konvergent. In unserem Fall ist $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{n}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_{n} = 1 \end{eqnarray}$ Somit: $\begin{eqnarray} <a_{n}> \end{eqnarray}$ ist keine Nullfolge daher isz die Reihe nicht konvergent nach Leibniz. Die Frage ist jetzt stimmt das oder nicht? Wenn nicht wo ist mein Denkfehler? Ty
24.10.2010, 16:56	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergiert die folgende Reihe? das stimmt, man kann sich auch überlegen, dass die folge a_n für gerade n immer 1 ergibt, für ungerade immer -1. wir erhalten dann für gerade n: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n a_n=-1+1-1+1-1+1-1+........-1+1=0 \end{eqnarray}$ und für ungerade n $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n a_n=-1+1-1+1-1+1-1+........-1+1-1=-1 \end{eqnarray}$ der reihenwert "hüpft" also immer zwischen 1 und 0 hin und her, also keine konvergenz.

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