Arcustangens Beweis

24.10.2010, 17:29	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Arcustangens Beweis Meine Frage: Zeigen Sie: Für alle $\begin{eqnarray} x\in ]0;1[ \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \int_x^1 \frac{1}{1+t^2}dt=\int_1^{\frac{1}{x}} \frac{1}{1+t^2}dt \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich sehe den Zusammenhang über die Stammfunktion, also den Arcustangens. Aber ich habe keine Ahnung, wie ich an den Beweis rangehen kann.
24.10.2010, 17:34	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arcustangens Beweis Mach doch auf der linken Seite die Substitution u = 1/t. Wenn du fertig bist, benennst du u in t um.
24.10.2010, 17:35	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arcustangens Beweis einen versuch wäre die substitution $\begin{eqnarray} t = \frac{1}{u} \end{eqnarray}$ wert
24.10.2010, 17:53	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich $\begin{eqnarray} u=\frac{1}{t} \end{eqnarray}$ substituiere, bekomme ich: $\begin{eqnarray} \int_x^1 \frac{1}{1+t^2}dt=\int_{\frac{1}{x}}^1 -\frac{1}{u^2+1}du \end{eqnarray}$ . Aber ich kann doch nicht einfach u in t umbenennen, weil ich doch $\begin{eqnarray} u=\frac{1}{t} \end{eqnarray}$ definiert habe, oder?
24.10.2010, 17:56	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
u ist eine Integrationsvariable. Die kannst du beliebig benennen. Wegen des - Zeichens links kannst du dort noch die obere und Grenze vertauschen.
25.10.2010, 08:01	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fasse mal zusammen: Ich habe bewiesen: $\begin{eqnarray} \int_x^1 \frac{1}{1+t^2}dt=\int_1^{\frac{1}{x}} \frac{1}{u^2+1}du \end{eqnarray}$ Was aber meiner Meinung nach noch fehlt, weil ich doch $\begin{eqnarray} u=\frac{1}{t} \end{eqnarray}$ festgelegt habe und dann in diesem Fall nicht einfach t statt u schreiben darf, weil u eigentlich 1/t ist, ist der Beweis: $\begin{eqnarray} \int_1^{\frac{1}{x}} \frac{1}{u^2+1}du=\int_1^{\frac{1}{x}} \frac{1}{1+t^2}dt \end{eqnarray}$ . Sehe ich das richtig oder bin ich doch mit dem Austauschen der Integrationsvariable schon fertig?
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25.10.2010, 08:33	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, da fehlt überhaupt nichts. Wenn du ein Integral hast, egal, wie es entstanden ist, dann kannst du die Integrationsvariable beliebig bennennen. Das ist eine doch eine reine Dummyvariable. Der Wert der Integrals ändert sich nicht, wenn du sie umbennenst. $\begin{eqnarray} \int\limits_a^b f(x) dx=\int\limits_a^b f(y) dy=\int\limits_a^b f(t) dt=\int\limits_a^b f(u) du=\int\limits_a^b f(Tobiass) dTobiass \end{eqnarray}$ Die Unterscheidung zwischen t und u war nur während der Durchführung der Substitution nötig.
25.10.2010, 09:04	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Dankeschön. Ich war mir nur nicht sicher, ob ich dich richtig verstanden habe.

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