Vektoren aufteilen

24.10.2010, 17:59	Janina18	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren aufteilen Hallo Gemeinde, ich komme an folgender Stelle nicht weiter bzw. ich habe ein Verständnisproblem. Gegeben sind zwei Vektoren a und b (ich erspare mir mal Tex an einigen Stellen, es ist ja sicherlich auch so leicht verständlich). Der Vektor a soll in einen Parallelanteil und Orthogonalanteil aufgeteilt werden, also parallel zu b und orthogonal zu b. Im Buch wurde in einem Beispiel Folgendes gemacht. Erst wurde b als $\begin{eqnarray} \vec{b} = b \cdot \vec{e}_b \end{eqnarray}$ geschrieben. So weit, so schön. Jetzt kann ich also Betrag und Richtung getrennt formulieren. Dann wurde das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \vec{a} \cdot \vec{e_b} \end{eqnarray}$ berechnet. DAS verstehe ich schon nicht. Wieso wurde dieses Skalarprodukt berechnet? Es kommt ein gewisser Betrag raus und dieser Betrag skalarmultipliziert mit nochmal $\begin{eqnarray} \vec{e_b} \end{eqnarray}$ soll wohl der Parallelanteil $\begin{eqnarray} \vec{a}_{parallel} \end{eqnarray}$ sein. Ich kann das nicht ganz nachvollziehen. Was ist denn $\begin{eqnarray} \vec{e_b} \end{eqnarray}$ (Vektor der Länge 1, der in Richtung von Vektor b zeigt) skalarmultipliziert mit Vektor a? Die Projektion des einen Vektors auf den anderen mal die Länge des anderen. Und weiter? Bin für jede Hilfe dankbar.
24.10.2010, 18:47	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zerlegung kannst Du so machen: $\begin{eqnarray} \vec a=\vec a_b + \vec a_{\perp b}=\vec e_b ( \vec a \vec e_b)+\vec e_b \times (\vec a \times \vec e_b) \end{eqnarray}$ Setz einfach Dein Beispiel ein, kontrolliere, ob die Zerlegung stimmt, und dann kannst Du wahrscheinlich den Mechanismus der Formel auch nachvollziehen. Voraussetzung ist, dass Du die (anschauliche) Bedeutung von Skalar- und Kreuzprodukt kennst
24.10.2010, 19:10	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
man könnte die korrektheit der zerlegung auch mit der graßmann-identität verifizieren.
24.10.2010, 20:10	Janina18	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erst einmal danke für eure Antworten, jedoch wollte ich eigentlich nicht irgendeinen Weg zur Berechnung (gibt sicherlich viele Möglichkeiten, die ihr kennt) wissen, sondern den von mir im Eingangsposting genannten Weg nachvollziehen können. Das Vektorprodukt taucht da z. B. gar nicht auf. Also nochmal, folgende Schritte laut Buch: Vektor $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ soll aufgeteilt werden in: $\begin{eqnarray} \vec{a} = \vec{a}_{orth.} + \vec {a}_{parall.} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \vec{a}_{orth.} \end{eqnarray}$ orthogonal zu Vektor $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec {a}_{parall.} \end{eqnarray}$ parallel zu Vektor $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ sein soll. 1. Zerlege $\begin{eqnarray} \vec{b} = b \cdot \vec{e}_b \end{eqnarray}$ 2. Multipliziere $\begin{eqnarray} \vec{e}_b \cdot \vec{a} \end{eqnarray}$ 3. Multipliziere das Ergebnis von 2 (ein Skalar) mit $\begin{eqnarray} \vec{e}_b \end{eqnarray}$ 4. Das Ergebnis ist gleich: $\begin{eqnarray} \vec{a}_{parall.} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \vec{a}_{parall.} = (\vec{e}_b \cdot \vec{a}) \cdot \vec{e}_b \end{eqnarray}$ Ab 2. verstehe ich es nicht mehr.
24.10.2010, 20:33	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Der entscheidende Schritt passiert in 2. Zeichne ein Bild der Zerlegung und bilde den Betrag von $\begin{eqnarray} \vec{e}_b \cdot \vec{a} \end{eqnarray}$ . Im Ergebnis kommt die cos-Funktion vor. Das stimmt dann mit Deiner Zeichnung überein. Schau mal, ob Du damit klarkommst. Wenn Du $\begin{eqnarray} \vec {a}_{parall.} \end{eqnarray}$ hast, kannst Du die Orthogonalkomponente - einfacher als mit meiner Formel - auch durch Differenzbildung ermitteln
24.10.2010, 22:25	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
man kanns auch so schreiben $\begin{eqnarray} \vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{b^2 }\vec{b}+\vec{a}_{\perp} \end{eqnarray}$
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