Wahrscheinlichkeit berechnen

24.10.2010, 18:20

jacob17

Wahrscheinlichkeit berechnen

Hallo,
Seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und Ereignisse A,B,C gegeben. Dann ist folgende Wahrscheinlichkeit zu berechnen:
P(A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ C)
Zuerst hab' ich die Mengen A, B und C einfach mal aufgezeichnet und mir überlegt, dass P(A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B\A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ C) - P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ C\A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ C)-P(C $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B\A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ C)-P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ C) ist. Aber leider kam ein Ergebnis größer als 1 dabei raus. Was stimmt denn an diesem Ansatz nicht? Im zweiten Schritt habe ich mir gedacht ob man folgende Formel P(A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B) = P(A) + P(B) -P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B) einfach auf 3 Mengen übertragen kann. Was von der Wahrscheinlichkeit aber auch wieder nicht passen würde.

24.10.2010, 18:39

René Gruber

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Zitat:

Original von jacob17
Zuerst hab' ich die Mengen A, B und C einfach mal aufgezeichnet und mir überlegt, dass P(A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B\A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ C) - P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ C\A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ C)-P(C $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B\A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ C)-P(A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ C) ist.

Etwas netter für's Auge, und mit der korrekten Klammersetzung:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P((A \cap B)\setminus (A\cap B\cap C)) - P((A \cap C)\setminus (A\cap B\cap C)) - P((B \cap C)\setminus (A\cap B\cap C)) - P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ .

Ja, diese Formel ist falsch, mit einer kleinen Korrektur klappt's aber:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P((A \cap B)\setminus (A\cap B\cap C)) - P((A \cap C)\setminus (A\cap B\cap C)) - P((B \cap C)\setminus (A\cap B\cap C)) - 2\cdot P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ .

In solchen Fällen ist man aber meist mit der Siebformel besser bedient:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$

24.10.2010, 19:58

jacob17

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Vielen Dank für deine Antwort.
Nur frage ich mich noch warum es - $\begin{eqnarray*} 2\cdot P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ lautet?

24.10.2010, 20:00

René Gruber

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In $\begin{eqnarray*} P(A)+P(B)+P(C) \end{eqnarray*}$ hast du die Wkt des Dreierschnitts $\begin{eqnarray*} A\cap B\cap C \end{eqnarray*}$ dreimal statt wie gewünscht einmal gezählt ...

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