Ungleichungen, Beweis korrekt?

24.10.2010, 19:53

blah123

Ungleichungen, Beweis korrekt?

Hallo,

möchte wissen, ob dieser Beweis so stimmt, bin mir nämlich gar nicht sicher.

Sei
$\begin{eqnarray*} y > x > 0 \end{eqnarray*}$

Behauptung:
$\begin{eqnarray*} \frac{y}{1+y} > \frac{x}{1+x} \frac{y}{1+y} - \frac{x}{1+x} > 0 \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} y > x > 0 \end{eqnarray*}$ folgen $\begin{eqnarray*} xy > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{-1}y^{-1} > 0 \end{eqnarray*}$ (bereits in vorheriger Aufgabe bewiesen).

Nehmen wir an, die Behauptung $\begin{eqnarray*} \frac{y}{1+y} - \frac{x}{1+x} > 0 \end{eqnarray*}$ sei richtig, so können wir diese Ungleichung wegen der Anordnungsaxiome mit der Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^{-1}y^{-1} > 0 \end{eqnarray*}$ multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} (\frac{y}{1+y})x^{-1}y^{-1} - (\frac{x}{1+x})x^{-1}y^{-1} > 0 \frac {1}{x(1+y)} - \frac {1}{y(1+x)} > 0 \end{eqnarray*}$

Einschub: Beweis, dass $\begin{eqnarray*} x^{-1} > y^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt:

Aus $\begin{eqnarray*} y > x \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} y+1 > x+1 (y+1) - (x+1) > 0 y - x > 0 \end{eqnarray*}$

Aus dieser Gleichung folgt wiederrum mit Hilfe der Anordnungsaxiome und Multiplikationsaxiome:

$\begin{eqnarray*} x^{-1}yy^{-1} - y^{-1}xx^{-1} > 0 x^{-1} - y^{-1} > 0 \end{eqnarray*}$

Da zu zeigen ist, dass:

$\begin{eqnarray*} x^{-1}(1+y)^{-1} - y^{-1}(1+x)^{-1} > 0 \end{eqnarray*}$

multiplizieren wir nun aus:

$\begin{eqnarray*} (x+xy)^{-1} - (y+xy)^{-1} > 0 \frac {1}{(x+xy)} - \frac {1}{(y+xy)} > 0 \end{eqnarray*}$

Der Faktor $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ kommt in beiden Brüchen vor, und da $\begin{eqnarray*} x^{-1} > y^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt, muss der erste Bruch größer sein als der zweite Bruch.

Stimmt das so oder habe ich Fehler gemacht? Wie kann man es einfacher schreiben? Habe mich streng an die Axiome gehalten, die wir in der Vorlesung hatten.

24.10.2010, 22:25

corvus

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RE: Ungleichungen, Beweis korrekt?

Zitat:

Original von blah123

Sei

$\begin{eqnarray*} y > x > 0 \end{eqnarray*}$

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{1+y} > \frac{x}{1+x} \end{eqnarray*}$

Wie kann man es einfacher schreiben?

$\begin{eqnarray*} y > x > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y + xy > x + xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \cdot \left(1+x\right) > x \cdot \left(1+y\right) \end{eqnarray*}$

und jetzt mach den letzten Schritt selbst smile

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