Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen

24.10.2010, 22:08

heko3

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Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen

Meine Mathe-Kenntnisse liegen etliche Jahre zurück und das, was wir in der Mathevorlesung durchgenommen haben, habe ich noch nie gelernt.

Nach stundenlangem Stöbern im Netz bin ich darauf gekommen, dass man jeden Summenwert mit der Gauß'schen Summenformel $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}n\left(n+1\right) \end{eqnarray*}$ schreiben kann.

Leider ist mir noch immer nicht klar, wie eine Formel
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{l=0}^n x^l \end{eqnarray*}$

in
$\begin{eqnarray*} =\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$
umgerechnet wird.

Kann mir bitte jemand dabei helfen?
Ein Hinweis würde mir langen, dann könnt ich meine letzten 4 Aufgaben auch lösen.

Danke für Eure Hilfe.

Schönen Gruß,
Helena

24.10.2010, 22:22

Mulder

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Herleitung der Formel für die Partialsummen

24.10.2010, 22:23

tigerbine

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen

Zitat:

Leider ist mir noch immer nicht klar, wie eine Formel
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{l=0}^n x^l \end{eqnarray*}$

in
$\begin{eqnarray*} =\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$
umgerechnet wird.

Was ist denn $\begin{eqnarray*} (1-x) \cdot \sum\limits_{l=0}^n x^l \end{eqnarray*}$

24.10.2010, 22:39

heko3

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Danke für Eure schnelle Antwort, aber anscheinend hab ich mich bisschen doof ausgedrückt.

Habe folgende Aufgaben:

Schreiben Sie die folgenden Summen mit Hilfe des Summenzeichens und berechnen Sie ihren Wert:

a) $\begin{eqnarray*} \alpha +\left(\alpha+d\right)+\left(\alpha+2d\right)+...+\left(\alpha+nd\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha,d\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{l=1}^n \left(\alpha+\left(n-1\right)d\right)=\alpha +\left(\alpha+d\right)+\left(\alpha+2d\right)+...+\left(\alpha+nd\right)=... \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}+\frac{2}{9}+...+\frac{2^{n-1}}{3^n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n-1}}{3^n}\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+...+\frac{2^{n-1}}{3^n}=... \end{eqnarray*}$

Ich wollte eigentlich wissen, ob es eine allgemeine Formel gibt, um solche Aufgaben wie a)+b) in einen Summenwert zu verwandeln.

Ich dachte, dass ich in die Gauß'sche Summenformel das n durch meinen Anfangswert (Induktionsanfang) ersetzen kann. Funkt. aber nicht so richtig.

Mach ich was falsch oder gibt es so was erst gar nicht?

Schönen Gruß,
Helena

24.10.2010, 22:56

tigerbine

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Na das konnte man da wirklich nicht raus lesen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha +\left(\alpha+d\right)+\left(\alpha+2d\right)+...+\left(\alpha+nd\right) \end{eqnarray*}$

Schreibe die Summe eben mal ein wenig anders.

25.10.2010, 14:57

heko3

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Meintest des so:

$\begin{eqnarray*} \alpha n+d\left(n-1\right)=\alpha n+dn-d=n\left(\alpha+d\right)-d \end{eqnarray*}$

Oder fehlt mir da noch immer der Blick dafür?
Ich grübel schon den ganzen Tag. traurig

traurig

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25.10.2010, 15:12

tigerbine

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
$\begin{eqnarray*} \alpha +\left(\alpha+d\right)+\left(\alpha+2d\right)+...+\left(\alpha+nd\right) \end{eqnarray*}$

oder
$\begin{eqnarray*} \left(\alpha+0\cdot d\right) +\left(\alpha+d\right)+\left(\alpha+2d\right)+...+\left(\alpha+nd\right) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} (\alpha + ...+ \alpha) + d(0+1+...+n) \end{eqnarray*}$

Mehr will ich nun nicht sagen.

Gaußsche Grüße. Wink

Wink

25.10.2010, 16:03

heko3

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Vielleicht hätte ich noch erwähnen sollen, dass mein Mathe-Prof. N der natürlichen ganzen Zahlen OHNE Null festgelegt hat. Ich weiß, man kann mit Mathematikern stundenlang darüber debatieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das heißt, ich kann in den Formeln nirgendwo eine Null einsetzen, sondern höchstens n=1 -> n-1 einsetz.

Da ich Gauß nie hatte, hätt ich da mal ne ganz doofe Fräge:

$\begin{eqnarray*} \frac{n\left(n+1\right)}{2} \end{eqnarray*}$

ist der Summenwert der ganz einfachen Addition bis n.

Kann ich eigentlich das Prinzip von Gauß auf alle Summenformeln anwenden?

(1.Summand + letzter Summand) mal das ganze 1/2 n, da ich durch Addition zweier Summanden die Anzahl halbier. Hab ich hoffentlich doch richtig verstanden, oder?

25.10.2010, 16:05

tigerbine

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
In der Formel steht bereits eine Null! Ich habe sie nur sichtbar gemacht. Du hast gepostet:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha +\left(\alpha+d\right)+\left(\alpha+2d\right)+...+\left(\alpha+nd\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha,d\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

25.10.2010, 16:06

tigerbine

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
In der Formel steht bereits eine Null! Ich habe sie nur sichtbar gemacht. Du hast gepostet:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha +\left(\alpha+d\right)+\left(\alpha+2d\right)+...+\left(\alpha+nd\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha,d\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Die Formel beschrieb doch genau wofür sie da ist. Also kann man sie nicht auf jede Summe anwenden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.10.2010, 16:17

heko3

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Hast recht. Funkt nicht. Habs grad ausprobiert.

Dass Du die Null sichtbar gemacht hast, ist mir klar, aber irgendwie komm ich nicht drauf, wie ich den 1. Summanden d=0 mach.
Steh anscheinend mit beiden Füßen auf dem Schlauch. Hilfe

Hilfe

Ich hoff, dass ich nicht allzu sehr nerv.

Schönen Gruß

25.10.2010, 16:23

tigerbine

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Biserl muss aber auch von dir kommen. Also ich kann Schnittchen machen, aber essen musst du schon selber...

$\begin{eqnarray*} (\alpha + ...+ \alpha) + d(0+1+...+n) \end{eqnarray*}$

Wie oft steht das alpha da?

die null kann man hinten auch weglassen.

$\begin{eqnarray*} ?\alpha+ d \sum_{k=1}{n} k \end{eqnarray*}$

Und hinten kommt natürlich GaußI zum Tragen.

25.10.2010, 16:34

heko3

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Nach suchen und fragen, hab ich folgende Reihe gefunden:

$\begin{eqnarray*} \alpha+\left(\alpha+d\right)+\left(\alpha+2d\right)+...+\left(\alpha+\left(n-1\right)d\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha,d\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Der Summenwert dafür lautet:

$\begin{eqnarray*} =\frac{n\left(2\alpha+\left(n-1\right)d\right)}{2} \end{eqnarray*}$

das hat wunderbar nach dem Gauß funktioniert.

Was ist bei meiner ersten Aufgabe schwieriger?

25.10.2010, 16:52

tigerbine

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Ich verstehe dich einfach nicht. Das ist keine Reihe. Das ist eine endliche Summe.

$\begin{eqnarray*} \alpha +\left(\alpha+d\right)+\left(\alpha+2d\right)+...+\left(\alpha+nd\right) \end{eqnarray*}$

oder
$\begin{eqnarray*} (\alpha + ...+ \alpha) + d(0+1+...+n) \end{eqnarray*}$

oder
$\begin{eqnarray*} (n+1)\alpha+ d \cdot \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Was war an diesem letzten Schritt so unklar? verwirrt

verwirrt

25.10.2010, 21:25

heko3

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Es tut mir Leid, wenn ich mich nicht korrekt ausgedrückt habe, aber das mit den Begriffen muss ich mir anscheinend noch besser einverleiben. Außerdem hab ich Deinen vorletzten Beitrag nicht gesehen, weil ich während dessen meinen letzten geschrieben hab und dann hab ich feierabend gemacht. Engel

Engel

Ich hab heut versucht es nachzuvollziehen und hoffe, dass ich es kappiert hab:
Ich betrachte die ersten 2 Summanden (einfacher für mich zum Verstehen), klammer alpha aus. Genauso mach ich es auch bei d und kann die Klammer (hinter d) auf Gauß anwenden.

Aber ich muss ehrlich gestehen, ich bin zu dämlich, um die Summe mit einem Summenzeichen zu schreiben.
Bei einfachen Formen kann ich einfach den letzten Summanden des Mittelteils nehmen und n durch k oder l oder i austauschen, quasi den Buchstaben, den ich als untere Grenze setz.
Hier bin ich aber irgendwie überfordert.

Ich danke Dir tigerbine, dass Du so viel Geduld mit mir hattest, aber ich bin ein hoffnungsloser Fall. Tränen

Tränen

25.10.2010, 22:09

tigerbine

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Ich verstehe nicht, was du nicht verstehst.

$\begin{eqnarray*} \alpha +\left(\alpha+d\right)+\left(\alpha+2d\right)+...+\left(\alpha+nd\right) \end{eqnarray*}$

Die Klammern sind hier doch nicht wichtig. Sieh dienen nur der .... SChreibweise. Woraus sind denn die Variablen. Man könnte auch schreiben

$\begin{eqnarray*} \alpha +\alpha+d+\alpha+2d+...+\alpha+nd \end{eqnarray*}$

Und das kann ich mit Kommutativ umschreiben. Also zähle ich doch einfach nur, wie oft steht denn da alpha drin. (n+1)-mal. Was bleibt?

$\begin{eqnarray*} d+2d+...+nd \end{eqnarray*}$

Und was werde ich da tun? Genau. d ausklammern. Was steht dann in der Klammer?

$\begin{eqnarray*} 1+2+...+n \end{eqnarray*}$

Na, und die Summe kann man mit Gauß berechnen. Macht unterm Strich

$\begin{eqnarray*} (n+1)\alpha+ d \sum_{k=1}{n} k \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} (n+1)\alpha+ d \cdot \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Den Ursprungsterm als Summe zu schreiben, anstatt mit ... sollte doch auch nicht so schwer sein. smile

smile

$\begin{eqnarray*} \alpha +\left(\alpha+d\right)+\left(\alpha+2d\right)+...+\left(\alpha+nd\right) \end{eqnarray*}$

Null einfügen. Um Prinzip zu zeigen.

$\begin{eqnarray*} \left(\alpha+0d\right) +\left(\alpha+1d\right)+\left(\alpha+2d\right)+...+\left(\alpha+nd\right) \end{eqnarray*}$

Schon ist die Summe einfach:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \left(\alpha+nd\right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}+\frac{2}{9}+...+\frac{2^{n-1}}{3^n} \end{eqnarray*}$

Der letzte Summand zeigt doch schon die Bauart der Summe

$\begin{eqnarray*} \frac{2^0}{3^1}+\frac{2^1}{3^2}+...+\frac{2^{n-1}}{3^n} \end{eqnarray*}$

Doof ist nun die Unterschiedliche Potenz. Aber da kann man ja Abhilfe SChaffen. Eben war bei + die 0 das Heilmittel. hier ist es in den Brüchen die *1 die nichts ändert.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(\frac{2^1}{3^1}+\frac{2^2}{3^2}+...+\frac{2^{n}}{3^n}) \end{eqnarray*}$

Und schon wird es schön

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}((\frac{2}{3})^1+(\frac{2}{3})^2+...+(\frac{2^{n}}{3^n})^n) \end{eqnarray*}$

Wie kann man das nun mit Summenzeichenzeichen schreiben?

Zitat:

aber ich bin ein hoffnungsloser Fall. Tränen

Quatsch. Du hast unsere Kartenspielertricks nur noch nicht durchschaut.

25.10.2010, 23:19

heko3

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaahhh!!! Hammer

Hammer

Die Summe mit alpha ist jetzt endlich einleuchtend. Ich glaub sogar, dass ich das schon mal in einer meiner früheren Leben gemacht hab. Big Laugh

Big Laugh

Aber...

alpha, d Element von R --> ist klar

n Element von N , wobei mein Prof N = 1,2,3,... festgelegt hat (was hier angegeben ist)

Bei N_0 ist auch die Null wirklich dabei lt. Prof., deshalb ist mir der Anfang nicht klar, wennst k=0 setzt, oder muss k mind. 1 kleiner/gleich n sein und hat damit nix zu?

Bei der 2. Aufgabe mit Brüchen hätte ich den letzten Summanden als Anfang mit Summenzeichen geschrieben,
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{2^{k-1}}{3^{k}} \end{eqnarray*}$
aber statt n eben k oder l eingesetz, je nachdem, welchen Buchstaben man als untere Grenze benutzt.

Nur der Summenwert, ich hoffe, dass ich diesmal die richtigen Begriffe benutze, macht mir mal wieder Schwierigkeiten. Ich wollte auch was ausklammern, nämlich 1/3, um es einfacher zu machen, hat nicht funktioniert, aber 1/2 macht Sinn. Hab rumprobiert und gerechnet, aber ist nicht wirklich was brauchbares rausgekommen.

Hab es so berechnet wie bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$
hat aber nicht funktioniert.

Vielleicht doch noch nen Wink? *g*

25.10.2010, 23:22

tigerbine

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Aber n wird doch auch nicht 0. Die Summe startet bei k=1. Das ist was anderes. Dass heißt hier nur, dass es mindestens 2 "Summanden ()" gibt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{2^{k-1}}{3^{k}} \end{eqnarray*}$

Das gibt nicht die Summe wieder. Du denkst zu wenig drüber nach, und hangelst dich an Formeln entlang. Dann klappt das nicht. Schon der Erste Summend taucht doch in der ursprünglichen Summe gar nicht auf. Der Index muss schon angepasst werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{2^{k-1}}{3^{k}} \end{eqnarray*}$

25.10.2010, 23:44

heko3

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Ist klar. Sorry, hab ich übersehen, dass ich k=1 setzt statt 0, sonst geht's ja nicht. Schläfer

Schläfer

Ansonsten scheint es ja zu passen.

Danke nochmal.

25.10.2010, 23:49

tigerbine

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RE: Summe in Gauß'sche Summenformel einsetzen
Einfach üben. Wink

Wink

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