supremum,infimum

12.11.2006, 14:06

terresa86

supremum,infimum

Bestimme sup(X) und inf(X) (sofern existent) f¨ur die folgenden Teilmengen
X1 = {x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ IR | x =1/2n, n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ IN},

(i) x ist eine obere Schranke von A, und
(ii) wenn y eine obere Schranke von A ist, so gilt x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ y.

Könnte einer von euch mir helfen diese Aufgabe zu Beweisen, kann ich

12.11.2006, 17:47

Abakus

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RE: supremum,infimum
Du meinst vermutlich $\begin{eqnarray*} X_1 = \{x \in \mathbb R : x = \frac{1}{2n},~ n \in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$

Hast du dir schon was überlegt ?

Grüße Abakus smile

12.11.2006, 22:40

terresa86

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Es gilt
x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ y,
da y eine obere Schranke und x eine kleinste obere Schranke von A ist, und
y $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x,
da x eine obere Schranke und y eine kleinste obere Schranke von A ist. Deshalb

x und y kleinste obere Schranken
von A, so gilt x = y.

ich weiß net wie ich es machen soll ich komm einfach nicht weiter,

12.11.2006, 22:53

Abakus

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Zitat:

Original von terresa86
Es gilt
x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ y,
da y eine obere Schranke und x eine kleinste obere Schranke von A ist, und
y $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x,
da x eine obere Schranke und y eine kleinste obere Schranke von A ist. Deshalb

x und y kleinste obere Schranken
von A, so gilt x = y.

Das beschreibt etwa den nötigen Beweis, wenn y ein Supremum sein soll:

- du musst zeigen, dass y eine obere Schranke ist

- du musst zeigen, dass y die kleinste obere Schranke ist

Ein Supremum musst du konkret als Zahlenwert angeben. Welches Supremum bietet sich hier für $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ an ?

Grüße Abakus smile

12.11.2006, 23:29

terresa86

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wie wäre es mit 0 für y ?

12.11.2006, 23:43

Abakus

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Zitat:

Original von terresa86
wie wäre es mit 0 für y ?

0 eignet sich als untere Schranke, aber nicht als obere. Du hast zB:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6} \in X_1 \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

13.11.2006, 00:02

terresa86

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achso ja dann wäre 1 gut geeignet oder???

x<1 => $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ x<1 => $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x \geq \end{eqnarray*}$ x b $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2b => 1 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ x

wiederspruch also, b $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ => 1=sup(X)

geht dass so wenn nicht kannst mir das zeigen wie es geht ich blick nicht durch.

13.11.2006, 00:03

terresa86

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b $\begin{eqnarray*} geq \end{eqnarray*}$ 1

13.11.2006, 00:10

Abakus

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Zitat:

Original von terresa86
achso ja dann wäre 1 gut geeignet oder???

x<1 => $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ x<1 => $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x \geq \end{eqnarray*}$ x b $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2b => 1 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ x

1 ist obere Schranke, ja. Es gibt aber noch kleinere obere Schranken.

Was ist bei dir x und was ist b ? Alle Variablen, die du verwendest, solltest du vorher erklären (zB verbal).

Um zu zeigen, dass eine Zahl Supremum ist, sind 2 Eigenschaften zu zeigen (s.o.).

Grüße Abakus smile

13.11.2006, 00:28

terresa86

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x<1 => $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ x > 1 => $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ x => x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2x => 1 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ x
Wiederspruch

=> x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1 => 1 ist sup X

b hab ich versehentlich geschrieben ich meinte x damit.

und ist es so richtig???

13.11.2006, 00:35

terresa86

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x ist ist meine obere schranke

also ich will (ii) zeigen

13.11.2006, 00:37

Abakus

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Zitat:

Original von terresa86
x<1 => $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ x > 1 => $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ x => x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2x => 1 $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ x
Wiederspruch

Da fehlt jede Struktur im Beweis. Was ist x und was ist die Annahme, zu der du einen Widerspruch herleitest ?

Zitat:

=> x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1 => 1 ist sup X

b hab ich versehentlich geschrieben ich meinte x damit.

und ist es so richtig???

Nein, es gibt noch kleinere Schranken.

Versuche einmal folgende Struktur zu benutzen:

Behauptung: xx (hier setzt du eine konkrete Zahl ein) ist Supremum der Menge $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$

Beweis:

1. xx ist obere Schranke, weil .... (ggf. dann math. Ungleichungen usw.)

2. es gibt keine kleinere obere Schranke als xx, weil... (ggf. auch hier dann math. Schritte)

Grüße Abakus smile

13.11.2006, 00:52

terresa86

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was für eine konkrete zah soll ich einsetzten

13.11.2006, 13:11

Abakus

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Zitat:

Original von terresa86
was für eine konkrete zah soll ich einsetzten

Die Zahl, die der vielversprechendste Kandidat für das Supremum ist. Schau dir dazu den Term in der Menge an.

Es müsste für alle natürlichen Zahlen n gelten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \le x_{sup} \end{eqnarray*}$

Der Bruch wird am grössten, wenn der Nenner möglichst klein wird (und das ist für n=1 der Fall). Daher würde ich dir $\begin{eqnarray*} x_{sup} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ vorschlagen.

Grüße Abakus smile

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