tan(x) integrieren

25.10.2010, 18:11

Gipsyjack

tan(x) integrieren

Hallo,

also wie der Titel schon sagt die Aufgabe ist altbekannt, hab sie auch gegoogelt aber ich versteh an einer Stelle die Rechenschritte nicht, bin bis jetzt so weit gekommen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \int \! tan(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \int \! sin(x)/cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

An der stelle muss man ja Substituieren, also:

$\begin{eqnarray*} 1/cos(x) = 1/u \end{eqnarray*}$

die Ableitung vom $\begin{eqnarray*} cos (x) \end{eqnarray*}$ ist: $\begin{eqnarray*} - sin (x) \end{eqnarray*}$ wenn ich jetzt also den $\begin{eqnarray*} sin (x) \end{eqnarray*}$ in der Gleichung ersetze folgt:

$\begin{eqnarray*} - \int\! - sin(x) / cos (x) \, dx \end{eqnarray*}$

genau von hier aus versteh ich nicht mehr was ich machen muss um auf die $\begin{eqnarray*} - ln (cos(x)) +C \end{eqnarray*}$ zu kommen.

MfG

25.10.2010, 19:02

Stefan03

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Hi,

dazu folgendes auf englisch Integralberechnung

Wenn du nur den letzten Schritt nicht verstehst, dann kann ich dir nur sagen, dass es eine Regel gibt, die besagt, dass wenn der Zähler die Abl. vom Nenner ist, man das Integral mit dem ln und den Betrag vom Nenner lösen kann smile

25.10.2010, 19:18

klarsoweit

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RE: tan(x) integrieren

Zitat:

Original von Gipsyjack
die Ableitung vom $\begin{eqnarray*} cos (x) \end{eqnarray*}$ ist: $\begin{eqnarray*} - sin (x) \end{eqnarray*}$ wenn ich jetzt also den $\begin{eqnarray*} sin (x) \end{eqnarray*}$ in der Gleichung ersetze folgt:

Du solltest dir einfach nochmal die Substitutionsregel anschauen.

25.10.2010, 20:15

aleph_math

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Zitat:

Original von Stefan03
... kann ich dir nur sagen, dass es eine Regel gibt, die besagt: wenn der Zähler die Abl. vom* Nenner ist, man das Integral mit dem ln und dem Betrag vom* Nenner lösen kann smile

*) Der korrekte Genitiv ist "des Nenners"... smile

Das nur nebenbei, erhöht aber die Verständlichk. (zumind. meine)... Augenzwinkern

Mathem. folgt ob. Regel direkt aus der Kettenregel: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}ln|f(x)|=\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x) \Rightarrow \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx =ln|f(x)| ~! \end{eqnarray*}$

Da sin richtig die Abl. von cos ist (bis auf's Vorz.), kann mit dieser Regel das Integral auf einen Schlag erledigt werden.

Nur Draufkommen muss man halt! Augenzwinkern

25.10.2010, 20:18

Cel

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Zitat:

Original von aleph_math
*) Der korrekte Genitiv ist "des Nenners"... smile

Das nur nebenbei, erhöht aber die Verständlichk. (zumind. meine)... Augenzwinkern

Sorry für OT, aber das muss raus: Das sagst gerade du? Bei deinen Abkürzungen komme ich auch nicht immer hinterher.

25.10.2010, 20:41

aleph_math

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Zitat:

Original von Cel

Zitat:

Original von aleph_math:
*) Der korrekte Genitiv ist "des Nenners"... smile

Sorry für OT, aber das muss raus: Das sagst gerade du? Bei deinen Abkürzungen komme ich auch nicht immer hinterher.

Ebenso "sorry!" smile

Wollte damit nur(?) auf die (generell häufige) edit: glgt. Unzulänglichkeit vieler Fragen (& mancher Hilfen Augenzwinkern

) hinweisen.

Vergleich mit Abk. hinkt, denn sie ändern ja an der Grammatik nichts! M.E. ist ein ausgeschriebener, aber falscher Satz hinderlicher/störender als umgekehrt (richtiger Satz mit tw. kryptischen Abk.) Augenzwinkern

NiFU & kolleg. Gruss! Wink

25.10.2010, 21:02

Stefan03

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auch OT: aber hier in Bayern ist der Genitiv mit "vom" ganz normal smile

25.10.2010, 21:10

Gipsyjack

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RE: tan(x) integrieren

Zitat:

Original von klarsoweit

Du solltest dir einfach nochmal die Substitutionsregel anschauen.

warum hab ich irgendein fehler gemacht??

Zitat:

Original von aleph_math

Mathem. folgt ob. Regel direkt aus der Kettenregel: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}ln|f(x)|=\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x) \Rightarrow \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx =ln|f(x)| ~! \end{eqnarray*}$
:

genau das hat mir gefehlt!! vielen dank für die schnelle und präzise hilfe smile

MfG

25.10.2010, 22:33

klarsoweit

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RE: tan(x) integrieren
@Gipsyjack: du hast keinen Fehler gemacht, aber genau an dieser Stelle:

Zitat:

Original von Gipsyjack
$\begin{eqnarray*} - \int\! - sin(x) / cos (x) \, dx \end{eqnarray*}$

genau von hier aus versteh ich nicht mehr was ich machen muss um auf die $\begin{eqnarray*} - ln (cos(x)) +C \end{eqnarray*}$ zu kommen.

kommt die Substitutionsregel ins Spiel. Daß es sich bei dieser Aufgabe um eine Anwendung von $\begin{eqnarray*} \int~\frac{f'(x)}{f(x)}~dx = ln(|f(x)|) + C \end{eqnarray*}$ handelt, ist eher nebensächlich. Entscheidend ist doch eher, daß man weiß, wie man die Substitutionsregel anwendet.

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