Beweis Nullfolge 1/n

25.10.2010, 18:44

offy

Beweis Nullfolge 1/n

Meine Frage:
Es gibt um die bekannteste Nullfolge überhaupt:
Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.
Eigentlich hatte ich das immer vorausgesetzt, aber wie kriege ich den Beweis hin?

Mein Problem: Es hapert daran, dass ich nicht verstehe, was mit dem $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ gemeint ist, das man "geschickt" wählen muss für so einen Beweis, vor allem, wozu es dabei ein Epsilon > 0 gibt.

Meine Ideen:
Kann man es über die Monotonie beweisen?
Hilft mir weiter, dass ich weiß, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ gibt, das kleiner ist?

25.10.2010, 18:47

Cel

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Nun, der Beweis geht ganz straight forward, wie man so sagt. Setze einfach die Definition an. Es ergibt sich sofort die (Un)gleichung für $\begin{eqnarray*} n_0 = n_0(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ . Wann ist denn eine Folge eine Nullfolge? Guck dir das evtl. noch mal an.

25.10.2010, 19:02

offy

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Ok, also die Bedingung für eine Nullfolge mal in eigenen Worten, so wie ich sie verstanden habe:
Eine Folge ist eine Nullfolge, wenn für ein Epsilon > 0 ein $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ existiert, wobei im Falle $\begin{eqnarray*} n \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} | a_{n} | \end{eqnarray*}$ kleiner oder gleich Epsilon sein muss.

Das heißt nun, dass ich ein $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ beliebig wählen kann, hauptsache es ist kleiner oder gleich n. Aber n wird doch immer größer? Ich kann also nur wählen, dass $\begin{eqnarray*} n = n_{0} \end{eqnarray*}$ .
So und weiter weiß ich nicht, dann hab ich einen Knoten im Hirn.
Liegt auch daran, dass ichs in der Uni für Physik brauch und meine Schulzeit ewig her ist. Die setzen es voraus und es hat keiner erklärt...

€dit: Bzw, natürlich bedeutet Nullfolge, dass eine Folge gegen Null konvergiert, das ist klar Augenzwinkern

25.10.2010, 19:26

Cel

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Nein, da ist einiges falsch - aber manches auch richtig.

Auf "deutsch" ist eine Folge eine Nullfolge, wenn für alle (und nicht nur für eines!) Epsilon > 0 ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \; |a_n| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist. Oder anders: Ich gebe dir ein Epsilon vor und du sagst mir, ab welchem $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ die Glieder kleiner als Epsilon sind.

Beispiel: Ab wann sind denn alle Folgenglieder kleiner oder gleich 0,5?

25.10.2010, 19:34

offy

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Hm...ab $\begin{eqnarray*} n_{0} = 2 \end{eqnarray*}$ ?
da 1/n in dem Fall 1/2 = 0.5 ist.
Heißt: Wenn n größer gleich 2 wird, dann ist Epsilon > $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ erfüllt.

25.10.2010, 19:41

Cel

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Genau. Und wie hast du das gemacht?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow n > 2 \end{eqnarray*}$

Also müsstest du $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ mindestens gleich 3 wählen. Und jetzt schreibst du statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Guck dazu auch mal hier.
Wichtig: Das n_0 muss eine natürliche Zahl sein. Und das ist 1/Epsilon nicht immer. Da musst du nur ein wenig aufpassen.

26.10.2010, 07:11

offy

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Wenn ich also statt 1/2 einfach Epsilon nehme, erhalte ich folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \varepsilon \Leftrightarrow n > \varepsilon \end{eqnarray*}$

Das heißt: Egal wie klein ich mein Epsilon wähle, n wird immer größer sein und 1/n dadurch immer kleiner. Darf ich das so einfach hinschreiben und der Beweis gilt als abgeschlossen?

Ich bedanke mich bis hier hin schon mal für die freundliche Hilfe!

26.10.2010, 09:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von offy
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \varepsilon \Leftrightarrow n > \varepsilon \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \varepsilon \Leftrightarrow n > \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von offy
Das heißt: Egal wie klein ich mein Epsilon wähle, n wird immer größer sein und 1/n dadurch immer kleiner. Darf ich das so einfach hinschreiben und der Beweis gilt als abgeschlossen?

Diese Formulierungen "immer größer" und "immer kleiner" sind unmathematisch. Korrekt ist:

Egal wie klein ich mein Epsilon wähle, ich finde immer ein n_0, so daß $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n}| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist für alle n mit n > n_0.

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