Urnenmodell

25.10.2010, 20:12	Piranha	Auf diesen Beitrag antworten »
Urnenmodell Meine Frage: Hallo zusammen! Kombinatorik ist irgendwie nicht so richtig mein Thema, deswegen würde ich mich freuen, wenn mir jemand die Lösung zu einer Aufgabe erklären könnte! Die Aufgabe lautet wie folgt: Es befinden sich 5 rote und 5 blaue Kugeln in einer Urne. Es werden 5 Kugeln nacheinander mit Zurücklegen und Beachtung der Reihenfolge gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau 2 blaue Kugeln zieht? Meine Ideen: Die Lösung für die Aufgabe müsste meines Wissens $\begin{eqnarray} \frac{{5 \choose 2}}{2^5} \end{eqnarray}$ lauten. Die 2^5 im Nenner kann ich nachvollziehen, sie ergibt sich aus den zwei Wahlmöglichkeiten zwischen roter und blauer Kugel und dem 5-maligen Ziehen. Sie entspricht somit der Mächtigkeit von dem Ereignisraum Omega. Die $\begin{eqnarray} {5 \choose 2} \end{eqnarray}$ im Zähler kann ich jedoch nicht so richtig nachvollziehen. Mir ist schon klar, dass dieser Ausdruck die Anzahl der Möglichkeiten darstellt aus 5 Kugeln 2 zu ziehen. Was mich jedoch irritiert, ist das dieser Ausdruck $\begin{eqnarray} {n \choose k} \end{eqnarray}$ doch eigentlich für Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge benutzt wird. Jedoch soll ich doch eigentlich beides bei der Ziehung beachten... Schon einmal vielen Dank im Voraus an alle, die versuchen möchten mir zu helfen!
25.10.2010, 23:38	zui	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urnenmodell Wie ich es verstehe: Ausdruck (n,k) hat überhaupt nichts mit Zurücklegen zu tun, er beschreibt nur, wie viele unterschidliche ketten kann ich bilden. Es gibt (5,0) ketten ohne b. kugel, (5,1) mit einem, u.s.w. insgesamt gibt es N=(5,0)+(5,1)+...+(5,4)+(5,5)=2^5=32. Wenn alle ketten gleichwahrscheinlicn sind, W=(5,2)/2^5, wie es bei dir steht. Was bringt eigentlich das zurücklegen? Nur ändert die warscheinlichkeiten, die anzahl der möglichkeiten bleibt. Zeige deine aufgabe als ein baum. dann es gibt (5,2)=10 wege, bei denen genau 2 bl. kugel gezogen werden. mit zurücklegen hat jeder weg die W.=(55555)/(1010101010)=0,031; das macht für alle Wege 0,3125; ohne zurücklegen wäre es für jeden Weg W=(54543)/(109876)=0,040; das macht für alle 10 wege 0,40.
25.10.2010, 23:45	ele5559	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Lösung, die übrigens richtig ist, besser zu verstehen, solltest du sie vielleicht anders anschreiben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}(\frac{1}{2})^2(\frac{1}{2})^3 \end{eqnarray}$ Daher hat der Nenner nichts mit der Mächtigkeit zu tun. Wie "zui" richtig angemerkt hat, hat $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nichts mit Zurücklegen zu tun: das gibt es bei allen Ziehungsarten, die keine Reihenfolge beachten: sowohl mit Zurücklegen (Binomialverteilung) als auch ohne (Hypergeometrische Verteilung) Daher die Frage zur Angabe: Steht da sicher "mit Beachtung der Reihenfolge". Falls ja, musst du aufpassen: denn 5 (ununterscheidbare) blaue Kugeln sind im Topf und die Siegesbedingung ist "irgendwie und irgendwo in meinem Testzug letztendlich genau 2 blaue Kugeln", das heißt: selbst wenn du mit Beachtung der Reihenfolge ziehst, ist die Reihenfolge für dein Ergebnis nicht relevant. Daher musst du ohne Beachtung der Reihenfolge rechnen! Üblicherweise steht in der Angabe entweder gar nichts über die Reihenfolge und man muss es selbst herausfinden, oder es steht explizit als Hilfestellung das Richtige dabei. Hier steht explizit das Falsche, aber vielleicht gab es bei dem Beispiel ursprünglich noch b) c) d) von denen eines auf die Reihenfolge Bezug genommen hat, und deshalb... editiert: und habe in urprünglich noch ein s eingefügt
28.10.2010, 20:20	Piranha	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch beiden für eure Antworten! Den Baum, so wie "zui" das vorgeschlagen hat, hatte ich mir sogar tatsächlich aufgemalt und es stand für mich vom "logischen Aspekt" her auch nie in Frage, dass es sich um 10 Möglichkeiten handelt. Was mich so verwirrt hat war immer dieses Zurücklegen, aber auch das habt ihr ja bestätigt: Das ändert nicht die Anzahl der Möglichkeiten, sondern nur die Wahrscheinlichkeit. @ele 5559: Ja, es steht explizit "mit Beachtung der Reihenfolge" dabei. Wir sollten vorher aber auch den Wahrscheinlichkeitsraum aufschreiben und wie ich schon in der Frage sagte: Wenn man die Anzahl der Möglichkeiten im Ur-Ergebnisraum berechnen möchte, dann braucht man diese Info ja. Nur für das Ereignis genau 2 blaue zu Ziehen, dafür muss man die Reihenfolge dann nicht mehr beachten, was ja auch logisch ist, da die Kugeln ununterscheidbar sind. Also ich denke ich hab's nun verstanden und nochmal vielen Dank an euch beide!

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