Ungleichung Wurzel Varianz

25.10.2010, 20:40	fnsr21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Wurzel Varianz Hallo! Wir sollen folgende Ungleichung in $\begin{eqnarray} L_0^2 := \{X \in L^2 : \mathbb EX = 0\} \end{eqnarray}$ zeigen: $\begin{eqnarray} \sqrt{\mathbb V\sum_1^n X_j} \leq \sum_1^n\sqrt{\mathbb VX_j} \end{eqnarray}$ Leider komme ich nicht weiter, mir fällt dazu ein: in $\begin{eqnarray} L_0^2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathbb VX_j = \mathbb E(XY) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb V\sum_jX_j = \sum_j\mathbb VX_j + 2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j) \end{eqnarray}$ . Nur hilft mir das ganze irgendwie nicht weiter. Ich habe auch schon an Jensen'sche Ungleichung gedacht, nur bekomme ich die Summe einfach nicht "aus der Wurzel". Mfg.
25.10.2010, 20:45	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, das hilft schon weiter: Am Ende ist es damit hinreichend, wenn du $\begin{eqnarray} \operatorname{Cov}(X_i,X_j) \leq \sqrt{V(X_i)} \cdot \sqrt{V(X_j)} \end{eqnarray}$ zeigen kannst - eine fast schon "bekannt" zu nennende Aussage.
25.10.2010, 20:52	fnsr21	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, die Aussage ist recht "einfach" zu zeigen ... nur sehe ich den Zusammenhang zu meiner Aussage nicht auf den ersten Blick. Könntest du das bitte noch etwas genauer ausführen?
25.10.2010, 21:08	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erspare mir jetzt die Bemerkung "Augen auf", sonst ruft das wieder diesen geifernden Gutmenschen auf den Plan: $\begin{eqnarray} \sum_j\mathbb VX_j + 2\sum_{i<j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) \leq \sum_j\mathbb VX_j + 2\sum_{i<j} \sqrt{\mathbb VX_i}\cdot \sqrt{\mathbb VX_j} \stackrel{!!!}{=} \left( \sum_j \sqrt{\mathbb VX_j} \right)^2 \end{eqnarray}$
25.10.2010, 21:18	fnsr21	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man manchmal hat man echt Tomaten auf den Augen...vielen Dank. Ich glaube ich hab' einfach zu lange drauf gestarrt....

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