Gleichungen mit Summenzeichen vereinfachen

25.10.2010, 21:50

Murmeline

Gleichungen mit Summenzeichen vereinfachen

Meine Frage:
Vereinfache bzw. berechne für q > 1 und natürliches n:

\sqrt[n]{\frac{q}{q-1} + \sum\limits_{i=1}^n q^{i} }

Es sei n eine natürliche , p eine reelle Zahl. Bestimme eine reelle Zahl q so, dass folgendes gilt:

\sum\limits_{i=0}^n \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} * p^{i}q^{n-1} = 1

Jemand hat n Werte x_{1}, ..., x_{n} gemessen mit dem "Durschschnittswert" \vec{x} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_{i}

\sum\limits_{i=1}^n (x_{i} - \vec{x}) = 0

Meine Ideen:
Ich habe leider absolut keine Ahnung. Für einen kleinen Denkanstoß zu jeder Aufgabe wäre ich sehr dankbar!

25.10.2010, 21:53

Murmeline

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RE: Gleichungen mit Summenzeichen vereinfachen

Zitat:

Original von Murmeline
Meine Frage:
Vereinfache bzw. berechne für q > 1 und natürliches n:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{q}{q-1} + \sum\limits_{i=1}^n q^{i} } \end{eqnarray*}$

Es sei n eine natürliche , p eine reelle Zahl. Bestimme eine reelle Zahl q so, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} p^{i}q^{n-1} = 1 \end{eqnarray*}$

Jemand hat n Werte $\begin{eqnarray*} x_{1}, ..., x_{n} \end{eqnarray*}$ gemessen mit dem "Durschschnittswert" $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n (x_{i} - \vec{x}) = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe leider absolut keine Ahnung. Für einen kleinen Denkanstoß zu jeder Aufgabe wäre ich sehr dankbar!

Sorry jetzt in schön!

29.10.2010, 17:12

Murmeline

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RE: Gleichungen mit Summenzeichen vereinfachen

Zitat:

Vereinfache bzw. berechne für q > 1 und natürliches n:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{q}{q-1} + \sum\limits_{i=1}^n q^{i} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{q}{q-1} + 1 + q + q^2 + q^3 + ... q^n } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( \frac{q}{q-1} + 1 + q + q^2 + q^3 + ... q^n )^\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Bitte helft mir weiter, ich brauche nur nen kleine Tipp!

29.10.2010, 18:48

Gualtiero

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RE: Gleichungen mit Summenzeichen vereinfachen

Zitat:

Original von Murmeline

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{q}{q-1} + \sum\limits_{i=1}^n q^{i} } \end{eqnarray*}$

Da i mit 1 beginnt, heißt das erste Glied der Reihe $\begin{eqnarray*} q^1 \end{eqnarray*}$ , und nicht 1.

Also bekommst Du mal: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{q}{q-1} + q + q^2 + q^3 + ... q^n } \end{eqnarray*}$

Und eine solche Reihe (hier der Summenausdruck ohne den Bruch) lässt sich ganz einfach umformen.

30.10.2010, 01:23

Murmeline

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RE: Gleichungen mit Summenzeichen vereinfachen

Zitat:

Original von Gualtiero

Zitat:

Original von Murmeline

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{q}{q-1} + \sum\limits_{i=1}^n q^{i} } \end{eqnarray*}$

Danke für deine Antwort.
Stimmt das soweit?
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{q}{q-1} * \frac{q^{n+1} - q}{q-1} } \end{eqnarray*}$

30.10.2010, 11:08

Gualtiero

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RE: Gleichungen mit Summenzeichen vereinfachen
Statt des Mal-Zeichens ("*") gehört wohl ein "Plus" hin. Denn da war ja nie eine Multiplikation.
Damit hast Du zwei Brüche mit gleichem Nenner, die nur noch zu addieren sind.

31.10.2010, 10:59

Murmeline

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Ah stimmt war ja ein "Plus". Danke nochmal!

Dann sieht der Term folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{q^{n+1}}{q-1} } \end{eqnarray*}$

Vereinfachen wir man nun nichts mehr können?

31.10.2010, 11:03

Gualtiero

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Richtig. Und zum Vereinfachen sehe ich keine Möglichkeit.

31.10.2010, 18:20

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{q^{n+1}}{q-1} } = q\sqrt[n]{\frac{q}{q-1}} \end{eqnarray*}$

wäre noch möglich.

03.11.2010, 10:24

Murmeline

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RE: Gleichungen mit Summenzeichen vereinfachen

Zitat:

Original von Murmeline
Es sei n eine natürliche , p eine reelle Zahl. Bestimme eine reelle Zahl q so, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} p^{i}q^{n-1} = 1 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe die Lösung gefunden. Wenn ja war es sogar ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} (p + q)^n \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} q = 1 - p \end{eqnarray*}$

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