Konvergenz - Häufungspunkt |
| 12.11.2006, 15:56 | mischobe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Konvergenz - Häufungspunkt Schauts euch an !!! Aufgabe: Sei (an)n beschränkte Folge. Beweisen Sie, dass (an)n genau dann konvergiert, wenn (an)n genau einen Häufungspunkt besitzt. Ist dieses Ergebnis auch richtig, wenn man auf die Beschränktheitsvoraussetzung verzichtet? Meine Lösung: Zum ersten Teil der Aufgabe: Sei µ > 0 und n0 Element |N so groß, dass |an - a| < µ gilt für n größer/gleich n0. Trivialerweise ist a also Häufungspunkt. Angenommen, es gäbe einen zweiten Häufungspunkt a´ ungleich a. Dann liegen unendlich viele an in (a´- µ, a´+ µ). Dann bekommen wir |a - a´| = | a - an + an - a´| kleiner/gleich |a - an| + |an - a´| < 2µ für unendlich viele n. WIDERSPRUCH Zum zweiten Teil der Aufgabe: Ich denke dass das Ergebnis nicht richtig wäre. Wenn eine Folge nicht beschränkt ist, dann kann sie erst garnicht konvergieren, denn jede konvergente Folge ist beschränkt. Sicherlich ist diese Aussage ein wenig dünn, mehr fällt mir dazu aber leider nicht ein. Ich bedanke mich schon jetzt für euere Hilfe MFG mischobe |
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| 12.11.2006, 16:19 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso soll das ein Widerspruch sein? Was ist ? Beim zweiten Teil musst du einfach nur ein Gegenbeispiel angeben. Gruß MSS |
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