Summenformel beweis

12.11.2006, 15:56

denice.g

Summenformel beweis

Zeige für jede n aus N die folgende Summenformel geltet

n
∑ k^3 = 1/4n^2(n+1)^2
k=1

Dass soll ich zeigen Per induktionbeweis. soweit kam ich

IA: n=1 ; 1= 1/4*1^2*(1+1)^2=1 => 1=1
IS:

S(n)= 1/4*n^2(n+1)^2
S(n) + (n+1)^3

= 1/4n^2(n+1)^2 + (n+1)

und weiter komm ich nicht könnt ihr mir sagen wir ich den Infuktionvorraussetzung machen kann.

Danke im voraus

Denice

12.11.2006, 16:24

Mathespezialschüler

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Das ganze mal ordentlich, so kann das ja keiner lesen ...

Zitat:

Original von denice.g
Zeige für jede $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ die folgende Summenformel geltet:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Dass soll ich zeigen Per induktionbeweis. soweit kam ich

IA: $\begin{eqnarray*} n=1 ;\ 1=\frac{1}{4}\cdot 1^2\cdot (1+1)^2=1\Rightarrow 1=1 \end{eqnarray*}$
IS:

$\begin{eqnarray*} S(n)=\frac{1}{4}\cdot n^2(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(n)+(n+1)^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2+(n+1) \end{eqnarray*}$
und weiter komm ich nicht könnt ihr mir sagen wir ich den Infuktionvorraussetzung machen kann.

Danke im voraus

Denice

So, du bist ja immerhin schon bei

$\begin{eqnarray*} S(n+1)=S(n)+(n+1)^3 \end{eqnarray*}$ .

Danach hast du eine $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ vergessen:

$\begin{eqnarray*} S(n)+(n+1)^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2+(n+1)^3 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}n^2(n+1)^2+(n+1)^3=\frac{1}{4}(n+1)^2(n+2)^2 \end{eqnarray*}$ .

Das kannst du durch äquivalente Umformungen machen oder, indem du den linken Term umformst, bis du auf die rechte Seite kommst.

Gruß MSS

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