Integration mit cosh und sinh

26.10.2010, 13:58

SternchenJulia

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Integration mit cosh und sinh

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie, dass die folgenden Kurven regulär sind und berechnen Sie jeweils deren Länge sowie den Tangenteneinheitsvektor in jedem Punkt.
Bei der kurve handelt es sich um folgende Traktrix:
x: (0,8) -> R³, t -> (t-tanh t, 1/cosh(t), 0).

Meine Ideen:
Die Kurve ist regulär, d.h. die Ableitung nimmt niemals den Wert Null an.
also Ableitung habe ich:
x'(t)= ( 1-1/cosh(t), - sinh(t)/cosh²(t),0)
Ich denke, dass das regulär ist, richtig?

Nun zu Länge:
L(x)= Integral von 0 bis 8 von |(1-1/cosh(t),-sinh(t)/cosh²(t),0)|dt
Integral lass ich jetzt einfach mal, weg, damit es nicht so verwirrend ist
= Wurzel aus [ (1-1/cosh(t))²+(-sinh(t)/cosh²(t))²]
Das muss ich jetzt ja irgendwie vereinfachen, damit ich integrieren kann.
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sinh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \sinh(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$ ,
aber dadurch wird es in meinen Augen nicht leichter.
Aus (-sinh(t)/cosh²(t))² kann man theoretisch noch (tanh(t)/cosh(t))²,
aber ich weiß nicht, ob das so viel besser ist.
Würde mich über Vorschläge und Ratschläge freuen.
Julia

26.10.2010, 14:13

René Gruber

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Bei der Ableitung der x-Komponente fehlt ein Quadrat im Nenner:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd t}(t-\tanh(t)) = 1 - \frac{1}{\cosh^2(t)} \end{eqnarray*}$

Ein kleiner Fehler mit großen Auswirkungen, was die Vereinfachbarkeit der Wurzel im Integranden betrifft. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2010, 14:19

riwe

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RE: Integration mit cosh und sinh
ich vermute, eine(r ) von uns beiden hat sich verrechnet.
ich komme auf
$\begin{eqnarray*} L=\int_{t_1}^{t_2 }\! tanh(t) \ dt \end{eqnarray*}$

wahrscheinlich zu schön, um wahr zu sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2010, 14:20

SternchenJulia

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Okay, Fehler verbessert, dankeschön, aber einfacher wirds dadurch leider auch nicht, oder?

26.10.2010, 14:22

SternchenJulia

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@ riwe: und wie kommst du auf so ein schönes Ergebnis?

26.10.2010, 14:31

SternchenJulia

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Ich hab das jetzt mal weiter aufgelöst (siehe Anhang),
aber wirklich schön wirds nicht.

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26.10.2010, 14:32

René Gruber

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Wie ich schon sagte:

Zitat:

Original von René Gruber
Ein kleiner Fehler mit großen Auswirkungen, was die Vereinfachbarkeit der Wurzel im Integranden betrifft.

Siehe richtigen Integrand bei riwe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

------

Es ist $\begin{eqnarray*} \cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1 \end{eqnarray*}$ der "hyperbolische Pythagoras" (ich weiß nicht, ob man das so nennt, aber es erscheint mir die passende Analogie zum trigonometrischen Pythagoras $\begin{eqnarray*} \cos^2(t)+\sin^2(t)=1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

Das zweimal an passender Stelle unter der Wurzel angewandt ergibt die gewünschte Vereinfachung.

26.10.2010, 14:37

SternchenJulia

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Ja, die Ableitung hab ich ja jetzt geändert und das ² hinzugegefügt:
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd t}(t-\tanh(t)) = 1 - \frac{1}{\cosh^2(t)} \end{eqnarray*}$ ,
das ist ja aber nur eine Ableitung und ich versteh nicht, wie man auf $\begin{eqnarray*} L=\int_{t_1}^{t_2 }\! tanh(t) \ dt \end{eqnarray*}$ kommt,
beim Umformen hab ich leider versagt.

26.10.2010, 14:45

SternchenJulia

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$\begin{eqnarray*} \cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1 \end{eqnarray*}$ der "hyperbolische Pythagoras", ist das nicht eher sowas wie das Additionstheorem?
Aber jetzt bin ich erstmal weiter, danke dir.
$\begin{eqnarray*} L=\sqrt{2}\int_{t_1}^{t_2 }\! 1-1/cosh²(t) \ dt \end{eqnarray*}$

26.10.2010, 14:54

SternchenJulia

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Jetzt hab ich dann aber trotzdem was andres raus als riwe,
nämlich mit $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd t}(t-\tanh(t)) = 1 - \frac{1}{\cosh^2(t)} \end{eqnarray*}$ in umgekehrter Reihenfolge erhalte ich
L(x) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\ \end{eqnarray*}$ * [t-tanh(t)]
= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\ \end{eqnarray*}$ * [8-tanh(8)-(0-tanh(0))]
= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\ \end{eqnarray*}$ * [8-tanh(8)]

26.10.2010, 15:07

René Gruber

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Kann es sein, dass du das Wurzelziehen im Integranden vergessen hast? unglücklich

unglücklich

26.10.2010, 15:14

SternchenJulia

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Also ich hab ne Wurzel gezogen,
meine komplette Rechnung jetzt nochmal hier im Anhang.
Wahrscheinlich hab ich irgendwo wieder nen ganz dummen Fehler.

26.10.2010, 15:24

René Gruber

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Diese Scans nerven - wenn man einen Fehler zitieren will, muss man den Unsinn auch noch abtippen ....

Ok, ein letztes mal mache ich das noch: Von der viert- zur drittletzten Zeile formst du um

$\begin{eqnarray*} \left( -\frac{\sinh(t)}{\cosh^2(t)} \right)^2 \stackrel{?}{=} \left( \frac{\cosh^2(t)-1}{\cosh^2(t)} \right)^2 \end{eqnarray*}$ .

Das ist falsch - vielleicht meinst du ja

$\begin{eqnarray*} \left( -\frac{\sinh(t)}{\cosh^2(t)} \right)^2 = \frac{\sinh^2(t)}{\cosh^4(t)} = \frac{\cosh^2(t)-1}{\cosh^4(t)} \end{eqnarray*}$ .

26.10.2010, 15:42

SternchenJulia

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Sorry, wegen den Scans, wollte dich keinesfalls verärgern, ich komm nur mit dem Latex nicht so zurrecht...
$\begin{eqnarray*} L(x) = \int_{0}^{8 }\!\sqrt{1 - \frac{1}{\cosh^2(t)}}\ dt \end{eqnarray*}$
Okay, und das form ich jetzt wieder um ...
$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{8 }\!\sqrt{ \frac{\sinh^2(t)}{\cosh^2(t)}}\ dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{8 }\!\sqrt{tanh^2(t)}\ dt \end{eqnarray*}$
und dann kommt das richtige raus smile

smile

Yuchu

smile

26.10.2010, 15:47

riwe

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hurra

Freude

26.10.2010, 15:51

SternchenJulia

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Ich weiß, hat lange gedaeuert,
aber dieses Sinuszeugs macht mich noch ganz irre Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke fürs entwirren.

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