Epsilon Delta Kriterium

26.10.2010, 14:30

Jakob22

Auf diesen Beitrag antworten »

Epsilon Delta Kriterium

Hallo,
ich verstehe grad eine Aufgabe nicht so recht.
Und zwar lautet diese :
Untersuchen Sie $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2-4 / x^2-4x+4 \end{eqnarray*}$ für x ungleich 2
0 für x=2. (um die beiden eine Schweifklammer)
mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriterium auf Stetigkeit im PUnkt xo=2.
Ich weiß auch gar nicht, wieso da 0 steht.
Ich mein, ja, ich kann ja den Zähler und Nenner kürzen.
Dann steht da : (x+2)/(x-2). Ist schon gekürzt. Aber wenn ich davon den lim f(x) x--> 2 mach, dann ist das doch falsch, weil der Nenner wieder 0 wird.
Kann man das noch irgendwie weiter vereinfachen?
Und wie ich das Ganze mit dem Epsilon-Delta-Kriterium machen soll, keeeeine Ahnung!

26.10.2010, 16:17

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst da nichts kürzen.
Und die 0 steht da, weil die funktion so definiert wurde.
und sie wurde so definiert , weil die obige funktion bei x=2 eine polstelle hat, d.h., dass sie gegen +/- unendlich abhaut.
da macht es keinen sinn zu fragen, warum sie da steht.

gehe die aufgabe von neu an.

P.S.: wieso betrachtest du den grenzwert, wenn du es mit dem epsilon-delta kriterium machen sollst?

versuche mal die obige funktion geeignet abzuschätzen, sodass du dann dein delta in abhängigkeit von epsilon angeben kannst.

26.10.2010, 16:36

Jakob22

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
erstmal danke für die antwort.
Was genau meinst du mit abschätzen?

26.10.2010, 16:52

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

weißt du wie das epsilon-delta kriterium der stetigkeit lautet?
wenn dei argumente |x-y|<delta hinreichend klein sind, also kleiner delta
=> |f(x)-f(y)|<epsilon, dann müssen auch die funktionswerte klein sein, genauer : kleiner epsilon und zwar für alle epsilon >0.

Hier nochmal sauber:

$\begin{eqnarray*} f \text{ stetig in } y :\Leftrightarrow~ \forall x\in \mathbb R :|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Den Punkt den du untersuchen sollst, ist ja y=2.

Das heißt du sollst deine Funktion $\begin{eqnarray*} ~f \text{ für } |x-2|<\delta \end{eqnarray*}$ geeignet abschätzen.

Genauer:

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} ~|f(x)-f(2)|<\varepsilon \text{ ist, sofern } |x-2|<\delta \text{ ist.} \end{eqnarray*}$

Alles klar?

26.10.2010, 17:02

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Evelyn89
Du kannst da nichts kürzen.

Doch da kann sehr wohl gekürzt werden!
Ich unterstelle dabei natürlich, dass es um den Term

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-4}{x^2-4x+4} \end{eqnarray*}$

geht.

26.10.2010, 17:07

Jakob22

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und genau da hab ich probleme.
Weil es für mich nicht so ganz logisch ist f(2) zu schreiben, da das ja nicht definiert ist. Aber ich weiß, es ja gibt diese hebbaren Stellen. Und ich soll eben untersuchen, ob es in diesem Punkt stetig ist.
Stetigkeit mit dem limes fällt mir nicht schwer, aber bei diesem Epsilon-delta habe ich meine Probleme.
Ich bin mir gaaaaar nicht sicher, wie ich da jetzt weitermach.. Also Epsilon muss größer 0 sein.
und x-2 ist kleiner Delta.
Ich weiß es im moment wirklich nicht =/

Anzeige

26.10.2010, 18:05

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist f(2) nicht definiert?
Betrachte nochmal die Definition von der Funktion, die dir gegeben wurde.
Da steht doch eindeutig: f(x)=0 für x=2 , also f(2)=0.
Das kannst du bei deiner Abschätzung natürlich benutzen.

P.S.: Das mit dem Kürzen hatte ich übersehen.
Du kannst dann natürlich schreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x+2}{x-2} \end{eqnarray*}$

Ich persönlich finde aber nicht, dass es dadurch einfacher wird.

26.10.2010, 18:56

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche doch einfach mal folgenden Ausdruck abzuschätzen:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(2)|=|f(x)|=|\frac{x+2}{x-2}|\leq~? \end{eqnarray*}$

Benutze dabei, dass $\begin{eqnarray*} x-2<\delta \end{eqnarray*}$

Bei Problemen melde dich einfach und sag wo du Schwierigkeiten hast.

26.10.2010, 19:34

Jakob22

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wieso ich mich so dumm anstell, aber ich find das grad echt schwer..
Also ja, ich weiß, f(x)-f(xo) < Epsilon.
x-xo < Delta.
also $\begin{eqnarray*} | x+2/x-2|< Epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | x-2| \end{eqnarray*}$ < Delta.
x+2< Epsilon*x-2 --> x+2/Epsilon < Delta.
Ich glaub kaum, dass das stimmt =/

26.10.2010, 19:44

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Evelyn89
Genauer:

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} ~|f(x)-f(2)|<\varepsilon \text{ ist, sofern } |x-2|<\delta \text{ ist.} \end{eqnarray*}$

Alles klar?

Wenn das mal kein Himmelfahrtskommando ist...

Bevor Du anfängst mit der Epsilon-Delta-Definition rumzumachen solltest Du Dir klar machen was Du überhaupt zeigen möchtest.
Überleg Dir dazu erstmal ob die Funktion an der Stelle 2 möglicherweise unstetig sein könnte?

26.10.2010, 20:08

Jakob22

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, möglicherweise könnte die Fkt dort unstetig sein. Also im Punkt xo=2.

26.10.2010, 21:02

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Manni Feinbein

Zitat:

Original von Evelyn89
Genauer:

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} ~|f(x)-f(2)|<\varepsilon \text{ ist, sofern } |x-2|<\delta \text{ ist.} \end{eqnarray*}$

Alles klar?

Wenn das mal kein Himmelfahrtskommando ist...

Bevor Du anfängst mit der Epsilon-Delta-Definition rumzumachen solltest Du Dir klar machen was Du überhaupt zeigen möchtest.
Überleg Dir dazu erstmal ob die Funktion an der Stelle 2 möglicherweise unstetig sein könnte?

Ich verstehe nicht, wo hier das Problem liegt?

26.10.2010, 21:13

Jakob22

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß auf jeden fall, was mein Problem ist, diese Aufgabe :P

26.10.2010, 21:52

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fragesteller fragte, wie man die Stetigkeit mit Hilfe des epsilon-delta krit. zeigen kann und darauf bin ich auch eingegangen.
dass die funktion evtl. nicht stetig ist, sollte man sich, je nachdem wie die aufgabenstellung lautet, immer vorher überlegen.
das kann man mit dem folgenkriterium ganz gut prüfen.

aber nicht vergessen: hier epsilon-delta.

@jakob22:

falls du nun der meinung bist, dass die fkt. in x=2 nicht stetig ist, so zeige, dass wenn
|x-2|< delta , so kann |f(x)| niemals gegen 0 gehen bzw. kleiner epsilon sein.

26.10.2010, 22:03

Jakob22

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, danke für deine Bemühungen, aber ich versteh ehrlich gesagt nur noch Bahnhof. Ich versteh das mit dem Epsilon und abschätzen einfach nicht.
Kann ich das Epsilon mit Delta/2 festlegen?

26.10.2010, 23:22

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jakob22
ja, danke für deine Bemühungen, aber ich versteh ehrlich gesagt nur noch Bahnhof. Ich versteh das mit dem Epsilon und abschätzen einfach nicht.
Kann ich das Epsilon mit Delta/2 festlegen?

Die Epsilon-Delta Definition der Stetigkeit solltest Du schon verstanden haben.
Das wird in jedem Analysis Buch und mit Sicherheit auch in Deiner Vorlesung ausführlich behandelt.

Hier geht's nun darum mit Hilfe dieses Kriteriums zu zeigen, dass eine Funktion in einem Punkt nicht stetig ist. Du musst also beweisen:

Es gibt ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ so daß für alle $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ es ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} |x-2|<\delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(2)|>\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Sei also $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \text{ und } \delta>0 \text{ beliebig }. \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} n>\frac 1{\delta} \end{eqnarray*}$ und setze $\begin{eqnarray*} x_n:=2+\frac 1n \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} |x_n-2|<\delta. \end{eqnarray*}$

Was ist nun mit $\begin{eqnarray*} |f(x_n)-f(2)| \end{eqnarray*}$ ?

27.10.2010, 10:32

Jakob22

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ausführlich? Wohl eher nicht^^ Denn das mit dem n haben wir in der Vorlesung nicht besprochen.
Ich muss aber dazusagen, ich studiere nicht Mathe, sondern habe nur 2 Stunden Mathevorlesungen in der Woche.
Aber wenn Epsilon = 1 ist, dann würde ja dann dastehen : xn+2<xn-2, dann kann man die 2 wegkürzen, steht da, xn<xn. Und das ist ja ein Widerspruch. Also ist die Fkt in x0=2 nicht stetig?

27.10.2010, 14:02

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jakob22
Aber wenn Epsilon = 1 ist, dann würde ja dann dastehen : xn+2<xn-2, dann kann man die 2 wegkürzen, steht da, xn<xn. Und das ist ja ein Widerspruch. Also ist die Fkt in x0=2 nicht stetig?

Ich verstehe nichts von dem was Du da schreibst.
Offenbar geht es Dir mit meinem Beitrag ebenso.

Lassen wir es also dabei.

27.10.2010, 15:17

Jakob22

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, leider versteh ich das mit dem n nicht.Ich weiß gar nicht, was das ist^^
Wir hatten immer nur leichte Beispiele.
Und ich weiß nicht, wie ich von x+2/x-2 < Epsilon, wenn x-2 <Delta, wegkomm, also wie ich da weitermach.. Wär ja noch x+2/Delta<Epsilon.
Und ich würde schon gerne weitermachen, denn ich würde es sehr gerne verstehen^^

27.10.2010, 18:00

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde an deiner Stelle da weitermachen, wo Manni aufgehört hat.
Der Ansatz ist ganz gut wie ich finde.
Lass dich von den n nicht verwirren. Das ist einfach nur eine natürliche Zahl.
Sie dient dazu eine Folge zu konstruieren, die die Stetigkeit widerlegt.

Ich mache es mal einfach einmal vor:

Nach den obigen Ausführungen von Manni gilt doch:

$\begin{eqnarray*} \text{Für } n>\frac{1}{\delta} \text{ ist } |x_n-2|< \delta \text{ , wobei } x_n:=2+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} |f(x_n)-f(2)|=|f(x_n)|=|f(2+\frac{1}{n})|=\frac{\frac{1}{n}+4}{\frac{1}{n}}=4n+1>1=\varepsilon~~ \end{eqnarray*}$
Und das gilt natürlich $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Also kann die Funktion nicht stetig in x=2 sein!

Kannst du das soweit nachvollziehen?

27.10.2010, 18:58

Jakob22

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, Ja, das versteh ich!!! (wow! Big Laugh

Big Laugh

)
Nur ja, eben, wie ich genau auf xn= 2+1/n komme. Da fehlt mir der Ansatz. Kannst du mir das vllt erklären?
Kanns aber auch verstehen, wenn nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ihr beiden habt mir wirklich schon sehr sehr geholfen.

27.10.2010, 23:44

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Das freut mich.

Das $\begin{eqnarray*} x_n=\frac{1}{n}+2 \end{eqnarray*}$ kommt daher, dass man eine Folge braucht, sodass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}|x_n-2|=0 \end{eqnarray*}$

Denn es soll ja $\begin{eqnarray*} |x_n-2|<\delta \end{eqnarray*}$ gelten.

(Anm.: Die Betragsstriche braucht man dann natürlich nicht mehr, weil der Ausdruck im Betrag sowieso immer positiv ist)

Und da ist $\begin{eqnarray*} x_n=\frac{1}{n}+2 \end{eqnarray*}$ nun mal naheliegnd.

28.10.2010, 07:14

Jakob22

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das versteh ich sogar auch. Vielen vielen vielen Dank, und tausend mal mehr!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »