Relationen

26.10.2010, 16:35

Monk

Relationen

Hallo,

habe hier einige Aufgaben zu Relationen. Ich habe die Aufgaben schon gelöst...ich bin mir nur nicht sicher, ob die Lösungen stimmen. Augenzwinkern

Es sind relativ kurze Aufgaben und man muss die Lösung auch nur ganz knapp angeben.

Also:

Sei S:={A, B, C D}; nun ist anzugeben, ob die Relationen reflexiv auf S sind, ob sie transitiv, symmetrisch und ob sie Funktionen sind.

1. Gegeben ist die Relation {<B, C>, <C, D>, <B, D>}

Meine Lösung:

nicht reflexiv auf S
tranisitiv,
nicht symmetrisch
keine Funktion...hier bin ich mir jedoch nicht sicher; darf C zwei versch. Elemente abbilden?

2. {<A, C>, <A, C>, <A,C>}

Meine Lösung:

nicht reflexiv auf S
transitiv
nicht symmetrisch
es ist eine Funktion

3. {<B, B>, C, C>, <D, D>}

Meine Lösung:

reflexiv
nicht transitiv
symmetrisch
Funktion

4. Gegeben ist hier die leere Menge.

Und da bin ich mir auch nicht sicher; kann es sein, dass für die leere Menge alle Eigenschaften gelten?

5. Man soll ein Beispiel für eine möglichst kleine symmetrische aber nicht transitive Relation geben:

Meine Lösung: {<A, A>, <B, B>}

6. Man soll eine Menge und eine Relation derart angeben, dass die Relation reflexiv auf S und asymmetrisch ist.

Meine Lösung: das ist nicht möglich.

Vielen Dank im Voraus.

26.10.2010, 16:58

gitterrost4

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RE: Relationen
2. Ist richtig. Bei den anderen: Pruef nochmal ganz genau die Definitionen nach und begruende, warum die Eigenschften gelten bzw. warum nicht.

26.10.2010, 17:22

Monk

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1. Gegeben ist die Relation {<B, C>, <C, D>, <B, D>}

nicht reflexiv:
Für Reflexivität müssten ja die Paare <B, B>, <C, C>, <D, D> vorhanden sein.

transitiv:
Weil es ja die "Abkürzung" von B nach D gibt.

nicht symmetrisch:
Ansonsten müsste die Relation ja die Paare <C, B>, <D, C> und <D, B> enthalten.

Funktion:
Dann nehme ich an, dass es sich hier um eine Funktion handelt. Ich habe das "rechtseindeutig" wohl falsch verstanden.

3. {<B, B>, C, C>, <D, D>}

reflexiv:
Ist diese Relation nur reflexiv auf der Menge {B, C, D}? und nicht reflexiv auf der gebenen Menge S:={A, B, C, D}? Also, weil <D, D> fehlt.

nicht transitiv:
Also, wenn diese Menge transitiv ist, dann ist auch klar, dass mein Beispiel für Aufgabe 5 falsch ist.
Ich dachte zuerst, dass Transitivität hier ausgeschlossen ist, weil es keine Verbindung zwischen C und C bzw. C und D gibt.

symmetrisch:
Weil es ja nur Doppelpfeile gibt (wenn man die Relation als Diagram zeichnet).

Kannst du mir vielleicht noch einen Denkanstoß bzgl. der leeren Menge geben?

Und sind 5. und 6. auch falsch?

26.10.2010, 17:40

gitterrost4

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Zitat:

Original von Monk
1. Gegeben ist die Relation {<B, C>, <C, D>, <B, D>}

nicht reflexiv:
Für Reflexivität müssten ja die Paare <B, B>, <C, C>, <D, D> vorhanden sein.

transitiv:
Weil es ja die "Abkürzung" von B nach D gibt.

nicht symmetrisch:
Ansonsten müsste die Relation ja die Paare <C, B>, <D, C> und <D, B> enthalten.

Funktion:
Dann nehme ich an, dass es sich hier um eine Funktion handelt. Ich habe das "rechtseindeutig" wohl falsch verstanden.
Rechtseindeutig heisst nur, dass es nur jeweils ein Paar <A,irgendwas> geben darf. Also es duerfen nicht sowohl <A,B> und <A,C> in der Relation sein. Was erlaubt ist, ist <A,B> und <C,B>

3. {<B, B>, C, C>, <D, D>}

reflexiv:
Ist diese Relation nur reflexiv auf der Menge {B, C, D}? und nicht reflexiv auf der gebenen Menge S:={A, B, C, D}? Also, weil <D, D> fehlt.
Es fehlt <A,A> und nicht <D,D>. So ist die Begruendung richtig.

nicht transitiv:
Also, wenn diese Menge transitiv ist, dann ist auch klar, dass mein Beispiel für Aufgabe 5 falsch ist.
Ich dachte zuerst, dass Transitivität hier ausgeschlossen ist, weil es keine Verbindung zwischen C und C bzw. C und D gibt.
Sie ist transitiv. Transitiv heisst ja nur, wenn es <A,B> und <B,C> gibt, gibt es auch <A,C>. Hier gibt es ja immer nur <B,B>, <C,C>, <D,D>.

symmetrisch:
Weil es ja nur Doppelpfeile gibt (wenn man die Relation als Diagram zeichnet).

Kannst du mir vielleicht noch einen Denkanstoß bzgl. der leeren Menge geben?
Bedingungen wie "Fuer alle ... gilt..." sind fuer die Leere Menge immer wahr. (Es gilt ja auch fuer alle Elemente aus der Menge... es gibt halt keine)

Und sind 5. und 6. auch falsch?

5.: siehe 3.
6.: wie habt ihr "asymmetrisch" definiert? Der Begriff ist mir in der Beziehung nicht gelaeufig. Meinst du vielleicht "antisymmetrisch"?

26.10.2010, 18:24

Monk

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Danke für die Hilfe. smile

Jetzt ist mir einiges klar geworden.

Aber was ist dann bei der Relation {<B, C>, <C, D>, <B, D>} falsch?
Ich hatte ja angegeben, dass es sich nicht um eine Funktion handelt...weil es zwei Paare <B, irgendwas> ( <B, C> und <B, D>) gibt.

Und das hatte ich im letzten Post vergessen:

3. {<B, B>, C, C>, <D, D>} ist eine Funktion. Das müsste ja stimmen.

Nun noch zur leeren Menge:

Die leere Menge ist dann doch eine Äquivalenzrelation, also reflexiv, symmetrisch und transitiv.
Und die leere Menge kann ja auch auf die leere Menge abgebildet werden...also ist es auch eine Funktion.

5.

Also, diese Relation sollte symmetrisch aber nicht transitiv sein:

{<A, B>, <B, A>, <B, C>, <C, B>}

Die Frage ist nur, ob man das auch mit weniger Paaren machen könnte.

6.

Asymmetrisch: Wenn in einer Relation <A, B> enthalten ist, dann darf nicht auch noch <B, A> enthalten sein.
Deshalb kann es auch keine reflexive und asymmetrische Relation geben.

Noch eine Verständnisfrage zu Funktionen:

Angenommen man hat die Relation {<Berlin, Bern>, <Bern, Wien>, <Bern, die Hauptstadt von Österreich>}.

Da "die Hauptstadt von Österreich" gerade Wien bezeichnet, könnte man es doch auch so anschreiben:
{<Berlin, Bern>, <Bern, Wien>, <Bern, Wien>}

Das ist dann trotzdem eine Funktion, da <Bern, Wien> ja einfach nur doppelt vorkommt also Bern immer Wien abbildet. Ist das so richtig?

26.10.2010, 20:58

gitterrost4

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Zitat:

Original von Monk
Danke für die Hilfe. smile

Jetzt ist mir einiges klar geworden.

Aber was ist dann bei der Relation {<B, C>, <C, D>, <B, D>} falsch?
Ich hatte ja angegeben, dass es sich nicht um eine Funktion handelt...weil es zwei Paare <B, irgendwas> ( <B, C> und <B, D>) gibt.

Aehm... Ja. Da hab ich nicht richtig geschaut. Aber da siehst du wenigstens, dass du es verstanden hast Augenzwinkern

Und das hatte ich im letzten Post vergessen:

3. {<B, B>, C, C>, <D, D>} ist eine Funktion. Das müsste ja stimmen.

Ja

Nun noch zur leeren Menge:

Die leere Menge ist dann doch eine Äquivalenzrelation, also reflexiv, symmetrisch und transitiv.
Und die leere Menge kann ja auch auf die leere Menge abgebildet werden...also ist es auch eine Funktion.

Ja

5.

Also, diese Relation sollte symmetrisch aber nicht transitiv sein:

{<A, B>, <B, A>, <B, C>, <C, B>}

Die Frage ist nur, ob man das auch mit weniger Paaren machen könnte.
Stimmt auch. Mit Weniger geht es auch: {<A,B>,<B,A>}. Das genuegt ja schon

6.

Asymmetrisch: Wenn in einer Relation <A, B> enthalten ist, dann darf nicht auch noch <B, A> enthalten sein.
Deshalb kann es auch keine reflexive und asymmetrische Relation geben.

Wenn du dir sicher bist, dass das eure Definition von asymmetrisch ist, dann stimmt deine Aussage (wenn ich mich nicht grad vertue).

Noch eine Verständnisfrage zu Funktionen:

Angenommen man hat die Relation {<Berlin, Bern>, <Bern, Wien>, <Bern, die Hauptstadt von Österreich>}.

Da "die Hauptstadt von Österreich" gerade Wien bezeichnet, könnte man es doch auch so anschreiben:
{<Berlin, Bern>, <Bern, Wien>, <Bern, Wien>}

Das ist dann trotzdem eine Funktion, da <Bern, Wien> ja einfach nur doppelt vorkommt also Bern immer Wien abbildet. Ist das so richtig?

Wenn "die Hauptstadt von Oesterreich = Wien" ist, dann ist {<Berlin,Bern>,<Bern,Wien>,<Bern,die Hauptstadt von Oesterreich>}={<Berlin,Bern>,<Bern,Wien>,<Bern,Wien>}={<Berlin, Bern>,<Bern,Wien>}.

In Mengen kann also kein Element doppelt vorkommen. Damit duerfte das klar sein.

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