Vektorraum beweis

26.10.2010, 14:40

dupla

Vektorraum beweis

hallo,

ich scheitere gerade an dieser aufgabe:

Zitat:

Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray*} f\in K[X] \end{eqnarray*}$ normiert und irreduzibel und vom Grad $\begin{eqnarray*} n\geq1 \end{eqnarray*}$ .Sei $\begin{eqnarray*} A\in K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu_A=f \end{eqnarray*}$ .
sei $\begin{eqnarray*} K[A] \end{eqnarray*}$ das bild des einsetzungshomomorphismus $\begin{eqnarray*} \psi_A:K[X]->K^{n\times n},g->g(A) \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass K[A] ein n-dimensionaler K-VR ist und geben Sie eine K-Basis an.

Ich stehe gerade etwas auf dem schlauch. muss ich hier die Vektorraum axiome beweisen, oder reicht es die isomorphie von K[X] und K[A] zu zeigen?

danke schonmal im voraus.

26.10.2010, 15:26

kiste

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Du musst zeigen dass es ein K-VR ist und das dieser n-dimensional ist

K[A] ist nicht(!) isomorph zu K[X]

26.10.2010, 15:38

jester.

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Zitat:

Original von kiste
K[A] ist nicht(!) isomorph zu K[X]

Wohl aber zu $\begin{eqnarray*} K[X]/(f) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

26.10.2010, 17:28

dupla

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danke.

ich versuche mich mal am distributivgesetz:

Seien $\begin{eqnarray*} a\in K \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(A),h(A)\in K[A] \end{eqnarray*}$

kann ich dann so beginnen?

$\begin{eqnarray*} a(g(A)+h(A)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =a(\sum\limits_{i=0}^{n-1} c_iA^i + \sum\limits_{i=0}^{n-1} d_iA^i) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} c_i,d_i\in K \end{eqnarray*}$

oder habe ich hier etwas falsch verstanden?

26.10.2010, 22:07

kiste

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Ganz in Ordnung, bloß der Grad des Polynoms sollte nicht n-1 sein, sondern beliebig. Beispielsweise Grad r für g, und Grad s für h

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Vektorraum beweis

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