vollständige induktion

26.10.2010, 18:51

limara

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vollständige induktion

Meine Frage:
hallo,
habe 2 aufgaben,bei denen ich nicht weiterkommen.
1. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i(i+1)= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} 2n+1<n²<2^{n} für n\geq 5 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
eigentlich habe ich das prinzip mit der vollständigen induktion verstanden.ich habe aber bei nr 1 glaube ich direkt am anfang schon eine fehler, weiß aber nicht wie es richtig heißen muss.
mein IS lautet nämlich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n+1 i(i+1)= \sum\limits_{i=1}^n i(i+1)+ (n+1) \end{eqnarray*}$ . ich glaube das hier schon was falsch sein muss, da ich am ende ein n+1 zu viel habe.
zu nr. 2 habe ich ehrlich gesagt keine wirkliche idee wie ich da vorgehen muss.
kann mir jemand auf die sprünge helfen???

26.10.2010, 18:57

Iorek

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Du hast Recht, dein IS ist fehlerhaft: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i(i+1) \end{eqnarray*}$ , jetzt ziehst du den n+1-ten Summanden aus der Summe raus, dazu setzt du n+1 für jedes i ein: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i(i+1)=\sum\limits_{i=1}^{n} i(i+1)+(n+1)((n+1)+1)=\sum\limits_{i=1}^{n} i(i+1)+(n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$

Zur zweiten Aufgabe kann man nichts sagen.

Edit: Hab mal deinen Latex-Code korrigiert: $\begin{eqnarray*} 2n+1<n²<2^{n}~ \text{für}~ n\geq 5 \end{eqnarray*}$

Du kannst die beiden Ungleichungen einzeln beweisen.

26.10.2010, 19:12

limara

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danke für die korrektur smile

smile

muss ich dann mit $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$ weitermachen?

26.10.2010, 19:16

Iorek

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Ja, du kannst die IV verwenden und erhältst diesen Ausdruck, den jetzt noch ein klein wenig umformen und fertig.

26.10.2010, 19:26

limara

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aber es ist doch richtig das ich folgendes zeigen will: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n+ 1 i(i+ 1)= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \end{eqnarray*}$ .oder lieg ich da auch falsch?

26.10.2010, 19:32

Iorek

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Wenn du den kleinen Latex-Fehler beseitigst (wenn mehr als nur ein Buchstabe/Ziffer/Zeichen im Exponent oder wie hier über der Summe stehen soll, musst du den Ausdruck in geschweifte Klammern setzen), dann ist das durchaus richtig.

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26.10.2010, 19:43

limara

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das mit den geschweiften klammern hab ich nicht verstanden.

26.10.2010, 19:46

Iorek

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Dein Latex-Code ist:

code:
1:	\sum\limits_{i=1}^n+ 1 i(i+ 1)= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}

Damit bekommst du $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n+ 1 i(i+ 1)= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \end{eqnarray*}$ , jedoch ist das "+1" falsch plaziert, es soll ja von i=1 bis n+1 summiert werden. Daher muss das in geschweifte Klammern gesetzt werden:

code:
1:	\sum\limits_{i=1}^{n+1} i(i+1)= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}

Damit ist dann die Form richtig: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i(i+ 1)= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \end{eqnarray*}$

26.10.2010, 19:57

limara

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bei mir kommt dann aber was anderes raus.also muss sich da doch wieder ein fehler versteckt haben.
also es würde dann folgendermaßen weitergehen:
$\begin{eqnarray*} = \frac{n(n+1)(n+2)+3[(n+1)(n+2)]}{3} <br /> = \frac{(n+1)[n(n+2)+3(n^{2}+3n+2)] }{3} <br /> = \frac{(n+1)(4n^{2}+11n+6) }{3} \end{eqnarray*}$
hier muss schon was falsch sein,da nicht das raus kommt was ich habe will verwirrt

verwirrt

26.10.2010, 20:04

Iorek

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Zitat:

Original von limara
$\begin{eqnarray*} = \frac{n(n+1)(n+2)+3[(n+1)(n+2)]}{3} <br /> = \frac{(n+1)[n(n+2)+3(n^{2}+3n+2)] }{3} \end{eqnarray*}$

Was machst du bei dieser Umformung? verwirrt

verwirrt

Tipp: Nicht wild ausmultiplizieren, lieber ausklammern, dann hast du die Lösung da stehen.

26.10.2010, 20:19

limara

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mh??
aber selbst wenn ich nur ausklammer habe ich dann immer noch (n+1)(n+2) am ende zu viel
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)[(n+1)(n+2)]}{3} \end{eqnarray*}$

26.10.2010, 20:20

Iorek

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Das liegt daran, dass du nicht richtig ausgeklammert hast unglücklich

unglücklich

26.10.2010, 20:24

limara

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kann es sein das ich das n+1 einmal vor dem + raus nehme und gleichzeitig aus meiner eckigen klammer??und das gleiche mit dem n+2. so das ich am ende nur noch n+3 übrig hab??

26.10.2010, 20:31

Iorek

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Ja.

26.10.2010, 20:33

limara

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supi,hab alles verstanden
danke schön!! Tanzen

Tanzen

26.10.2010, 20:33

Iorek

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Dann viel Erfolg bei der zweiten Aufgabe. smile

smile

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