Mengen

26.10.2010, 20:35

Route_66

Mengen

Hallo Leute!

folgende Mengen soll ich bestimmen:

a) $\begin{eqnarray*} f^{-1} (]0,\infty [) f(x)=x^{2} -2\cdot x \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} ]0,1[\cup ]1,2[\cup (\mathbb N \cap [-1,3]) \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \left\{ n\in \mathbb N | n ist eine Primzahl \right\} \cap \left\{ 2\cdot n | n\in \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \bigcap_{n\in \mathbb N } \left\{ k\in \mathbb N | k\leq n \right\} \end{eqnarray*}$

Was ich bis jetzt habe:

zu a) $\begin{eqnarray*} M_{1} = \left\{ x\in [-1,\infty [ \right\} \end{eqnarray*}$
zu b) $\begin{eqnarray*} M_{2} = \left\{ x\in \mathbb N | x\in \left[0,3\right] \right\} \end{eqnarray*}$
zu c) $\begin{eqnarray*} M_{3} = \left\{ 2\right\} \end{eqnarray*}$
zu d hab ich leider keine Ahnung

Für Anregungen wäre ich dankbar!

26.10.2010, 21:07

René Gruber

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RE: Mengen

Zitat:

Original von Route_66
zu a) $\begin{eqnarray*} M_{1} = \left\{ x\in [-1,\infty [ \right\} \end{eqnarray*}$

Hmm, es ist

$\begin{eqnarray*} f(1) = 1^2-2\cdot 1 = -1 \not\in ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} 1\in f^{-1}(]0,\infty[) \end{eqnarray*}$ sicher falsch. unglücklich

26.10.2010, 21:26

Route_66

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Mengen
Danke für die Antwort!

iST $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht meine Urbildmenge. die Elemente dieses Intervalls liefern eingesetzt in f(x) das Bild von f. Die müssen doch nicht wieder Element der Definitionsmenge sein, oder?

26.10.2010, 23:01

René Gruber

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Irgendwie hast du wohl die Definition und Bedeutung der Urbildmenge nicht verstanden:

Die Urbildmenge $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ enthält genau die Argumente $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} f(x)\in A \end{eqnarray*}$ gilt. Im Fall $\begin{eqnarray*} A=]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ muss dieses $\begin{eqnarray*} M_1:=f^{-1}(]0,\infty[) \end{eqnarray*}$ also diejenigen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ enthalten, für die $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ gilt. Alle diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , aber auch KEINE ANDEREN!

Also hat z.B. $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ nichts in dieser Menge zu suchen, da ja $\begin{eqnarray*} f(1)=-1<0 \end{eqnarray*}$ gilt. Jetzt endlich klar, warum deine Angabe $\begin{eqnarray*} M_{1} = \left\{ x\in [-1,\infty [ \right\} \end{eqnarray*}$ falsch ist?

27.10.2010, 16:03

Route_66

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Mmh....okay danke für die Erläuterung.

Also M= \left\{ ]2,\infty [\right\}

Wie sieht es mit den anderen Lösungen aus, b kommt mir nicht ganz koscher rüber

27.10.2010, 18:36

René Gruber

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Zitat:

Original von Route_66
Also M= \left\{ ]2,\infty [\right\}

Wenn der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ maximal ist, also alle reellen Zahlen umfasst - wovon ich mal ausgehe - dann gehört noch etwas mehr zu diesem Urbild. Mal eine Skizze zur Verdeutlichung:

Es gehören alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dazu, für die $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ gilt, im Bild also die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werte, wo der Graph oberhalb der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse verläuft. Das sind nicht nur die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Intervall $\begin{eqnarray*} ]2,\infty[ \end{eqnarray*}$ , sondern ...

27.10.2010, 19:01

Route_66

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Besten Dank. Da hab ich wohl geschlafen. jetzt aber (hoffentlich!)

$\begin{eqnarray*} M=\left\{ x\in ]2,\infty [\vee ]0,-\infty [\right\} \end{eqnarray*}$

28.10.2010, 20:44

laramo

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RE: Mengen
hey.. hab die gleichen aufgaben zu lösen und wollt fragen.. bist du dir sicher bei c?! kann gerad nich ganz nachvollziehen wie du nur auf 2 kommst.. das ganze wird doch noch vereinigt mit 2n!? also müsst da ja immer noch das doppelte betrachtet werden als zumindest irgendwas mit 4 drin stehn.. willste mir das kurz erklären?! smile

29.10.2010, 10:37

Mathewolf

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Zitat:

b) $\begin{eqnarray*} ]0,1[\cup ]1,2[\cup (\mathbb N \cap [-1,3]) = \left\{ x\in \mathbb N | x\in \left[0,3\right] \right\} \end{eqnarray*}$

Diese Lösung ist falsch. Woher nimmst du die Aussage, dass $\begin{eqnarray*} ]0,1[\subset\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ]1,2[\subset\mathbb N \end{eqnarray*}$ sind? Viel eher ist anzunehmen, dass es sich bei den offenen Intervallen um Teilmengen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ handelt. Damit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \underbrace{ ]0,1[\cup ]1,2[}_{]0,2[\backslash\{1\}}\cup (\underbrace{\mathbb N \cap [-1,3]}_{\{0,1,2,3\}}) = [0,2]\cup\{3\} \end{eqnarray*}$

Die Lösung zu c) ist richtig.

Zu d):

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n\in \mathbb N } \left\{ k\in \mathbb N | k\leq n \right\} \end{eqnarray*}$

Welche Mengen ergeben sich, deren Schnittmenge zu ermitteln ist?

n=0: $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$

n=1: $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$

n=2: $\begin{eqnarray*} \{0,1,2\} \end{eqnarray*}$

n=k: $\begin{eqnarray*} \{0,1,\ldots,k\} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsst ihr nur noch die Schnittmenge als all diesen Mengen ermitteln, also

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n\in \mathbb N } \left\{ k\in \mathbb N | k\leq n \right\} = \{o\}\cap\{0,1\}\cap\ldots\{0,1,\ldots,k\}\cap\ldots = ? \end{eqnarray*}$

29.10.2010, 10:54

Mathewolf

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RE: Mengen

Zitat:

Original von laramo
hey.. hab die gleichen aufgaben zu lösen und wollt fragen.. bist du dir sicher bei c?! kann gerad nich ganz nachvollziehen wie du nur auf 2 kommst.. das ganze wird doch noch vereinigt mit 2n!? also müsst da ja immer noch das doppelte betrachtet werden als zumindest irgendwas mit 4 drin stehn.. willste mir das kurz erklären?! smile

Wo siehts du da eine Vereinigung?

$\begin{eqnarray*} \{n\in\mathbb N|n\ \textrm{ist Primzahl}\}\cap\{n|n=2k;\ k\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \{1,2,3,5,7,11,13,17,19, \ldots\}\cap\{0,2,4,6,8,10,\ldots,2k,\ldots\}=\{2\} \end{eqnarray*}$ ,

denn 2 ist die einzige gerade Zahl, die zugleich eine Primzahl ist.

29.10.2010, 11:09

laramo

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RE: Mengen
logisch.. danke.. war scheinbar schon zu spät für's logische denken.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{ ]0,1[\cup ]1,2[}_{]0,2[\backslash\{1\}}\cup (\underbrace{\mathbb N \cap [-1,3]}_{\{0,1,2,3\}}) = [0,2]\cup\{3\} \end{eqnarray*}$

ehm.. wie kommt's denn, dass aus nun aber der vereinigung der intervalle hervorgeht das 1 nicht enthalten sein darf?!

29.10.2010, 11:52

Mathewolf

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RE: Mengen

Zitat:

Original von laramo
ehm.. wie kommt's denn, dass aus nun aber der vereinigung der intervalle hervorgeht das 1 nicht enthalten sein darf?!

Weil es sich um offene Intervalle handelt. Ich drücke die Intervalle mal etwas anders aus. Vielleicht wird das dann etwas klarer.

$\begin{eqnarray*} [a,b]\cup[b,c] = (a\leq x\leq b)\wedge(b\leq x\leq c)\ \Leftrightarrow\ a\leq x\leq c = [a,c] \end{eqnarray*}$

Dies ist der Fall, weil die Randwerte eines Geschlossenen Intervalls Elemente des Intervalls sind.

Bei offenen Intervallen sind die Randwerte aber nicht Elemente des Intervalls. Man kommt zwar beliebig nahe an die Randwerte heran, aber erreicht sie nicht. Deswegen heißen sie auch "offen".

Das heißt also

$\begin{eqnarray*} ]a,b[\cup]b,c[ = (a< x< b)\wedge(b<x<c) = ]a,c[\backslash\{b\} \end{eqnarray*}$

x darf also den Wert b nicht annehmen. b fällt also aus der Vereinigungsmenge heraus.

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