Induktionsbeweis Ungleichung

27.10.2010, 02:57	Phil89	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis Ungleichung Meine Frage: Hallo! Ich komme bei einem Induktionsbeweis einer Ungleichungsaufgabe nicht weiter. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n k^k \leq n^{ \frac{n(n+1)}{2} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Induktionsanfang ist klar. Beim Induktionsschritt komm ich auf ... $\begin{eqnarray} \leq n^{ \frac{n(n+1)}{2} } + (n+1)^{n+1} \end{eqnarray}$ Wie kann ich dann weiter abschätzen? Danke schon mal!
27.10.2010, 06:51	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Ungleichung ist derart grob, dass man wohl im ersten Moment ziemlich verdutzt ist. Mein Vorschlag: Weise das zwar immer noch grobe, aber vergleichsweise dann doch feinere $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k^k \leq n^{n+1} \end{eqnarray}$ nach - egal, ob direkt oder per Vollständiger Induktion. Wegen $\begin{eqnarray} n+1 \leq \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ im Exponenten ist die eigentliche Behauptung dann nur noch eine Folgerung daraus.
28.10.2010, 09:43	Phil89	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke, damit ist die aufgabe wohl gelöst

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