Permutation p: A -> A

27.10.2010, 09:53

Ionel

Permutation p: A -> A

Also ich hab schonwieder ein kleines Problem:

Die Menge A enthält 2^n Elemente.

Wieviel Permutationen p: A-> A existieren. Begründe deine Antwort.

Mein Ansatz war bisher:

Da A 2^n Elemente besitzt, dann gibt es aufgrund von n!= n*(n-1)*...*3*2*1
unendlich viele Permutationen.

Stimmt das oder habe ich einen Fehler gemacht?

27.10.2010, 10:06

Mazze

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Zitat:

mmt das oder habe ich einen Fehler gemacht?

Man kann sich auch nach einer Antwort gedanken machen. Wenn eine Menge endlich viele Elemente hat, kann es davon dann überhaupt unendlich viele Permutationen geben?

Wenn ich eine Menge mit 10 Elementen habe , habe ich 10! Permutationen, wenn ich also eine Menge mit 2^n Elementen habe, wieviel Permutationen habe ich?

27.10.2010, 10:11

Ionel

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Ja das ist klar, aber n kann ja irgendeine Zahl sein. Also wäre die Antwort in diesem Falle wohl das es endlich viele Permutationen gibt. Aber eine konkrete Anzahl kann ich ja nicht angeben oder?

27.10.2010, 10:17

Mazze

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Zitat:

Aber eine konkrete Anzahl kann ich ja nicht angeben oder?

Na klar, abhängig von n. Wenn ich eine Menge mit n Elementen habe kann ich ja auch sagen dass es n! Permutationen gibt.

27.10.2010, 14:30

Ionel

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Ok, das ist soweit klar. Und wenn ich klären soll wieviele Funktionen der Form f: A -> A existieren (A enthält 2^n Elemente)? Wie soll ich das jetzt machen? Existieren da auch n viele Funktionen?

27.10.2010, 14:37

Mazze

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Zitat:

Existieren da auch n viele Funktionen?

Einfach raten hilft da nicht. Es gibt mehr Funktionen als Permutationen. Etwa wäre

$\begin{eqnarray*} A = \{0,1\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für x = 0 und x = 1

eine Funktion, aber sicher keine Permutation. Wenn A eine endliche Menge ist, gibt es auch nur endlich viele Abbildungen A -> A. Eine Abbildung ist eindeutig definiert, wenn Du jedem $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ zuordnest.

Du musst dir also überlegen, wieviele von diesen zuordnungen möglich sind.

28.10.2010, 11:31

Ionel

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Für jedes n eigentlich doch nur genau eine oder?

28.10.2010, 11:43

Mazze

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Zitat:

Für jedes n eigentlich doch nur genau eine oder?

Wie ich schon sagte, über die Antwort nachdenken bevor man sie schreibt. Wenn ich dir sage, dass es mehr Funktionen als Permutationen gibt, und für jedes n genau n! Permutationen existieren, dann kann die Antwort eine Abbildung für jedes n nur falsch sein.

Beispiel : $\begin{eqnarray*} A = \{0,1\} \end{eqnarray*}$ , folgende Funktionen gibt es :

$\begin{eqnarray*} f_1(0) = 0, f_1(1) = 0 \end{eqnarray*}$ (Funktion 1)
$\begin{eqnarray*} f_2(0) = 0, f_2(1) = 1 \end{eqnarray*}$ (Funktion 2)
$\begin{eqnarray*} f_3(0) = 1, f_3(1) = 0 \end{eqnarray*}$ (Funktion 3)
$\begin{eqnarray*} f_4(0) = 1, f_4(1) = 1 \end{eqnarray*}$ (Funktion 4)

Bei einer Menge mit 2 Elementen gibt es also schon 4 Funktionen $\begin{eqnarray*} A \to A \end{eqnarray*}$ . Genau dieses Schema kann man für allgemeine n Anwenden, um für beliebiges n die ANzahl der Funktionen zu finden.

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