Steigungswinkel/Schnittpunke berechnen

12.11.2006, 17:15

non@me

Steigungswinkel/Schnittpunke berechnen

Hallo,

wer kann mir helfen ich muss folgende Aufgabe lösen:

Gegeben ist die Gerade g : y = -4/3 x + 4/5 , X E R.
1. gebe die Steigungswinkel der geraden an.
2. Berechne die Schnittpunkte und Schnittwinkel der geraden mit den Koordinatenachsen
3.Gebe de Gleichung der Parallelenzu g durch P (-2 / 1) an.

Ermittle rechnerisch , ob die folgenden Punkte auf einer Geraden liegen.
P(-4 /1), Q(2,5 / -1,5) und R(4 / -2)

solche Aufgaben kommen morgen in einem Test dran und ich weiss nicht wie ich diese lösen soll.

Vielen Dank

12.11.2006, 17:24

vektorraum

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RE: Steigungswinkel/Schnittpunke berechnen
Hi!

Erste Frage: Hast du schon mal was von Ableitungen gehört??? Wenn nicht, können wir es auch anders lösen...

Überlege mal durch welchen Wert der Anstieg in einer Geradengleichung der Form

$\begin{eqnarray*} y=mx+n \end{eqnarray*}$

gegeben ist. Dann überlegst du, ob du zu diesem noch eine Beziehung kennst.

Zu 2. Hier geht es um den SP mit der x-Achse (Nullstelle) und der y-Achse... Überlege dir, was an den jeweiligen Punkten gilt (bezüglich dem x- oder y-Wert)

zu 3. Welche Bedingung müssen Geraden erfüllen, welche parallel sind (siehe mal 1.)

Wie ermittelt man denn ob ein Punkt draufliegt???

Das ist alles Stoff von Klasse 8 - müsste also dann sitzen...

Edit: Text

12.11.2006, 17:48

non@me

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Hi,

danke für die schnelle Antwort.

ich stehe leider immer noch voll auf dem Schlauch.

ich weiss wirklich nicht wie und wo ich anfangen soll.
zu 2. muss ich für den Schnittpunkt der x-Achse bei y 0 eingeben.
und für den SP der y-Achse bei x 0 eingeben?

kannst du mir den komplette Lösungsweg geben.
So kann ich bei anderen Aufgaben leichter nachvollziehen, ob diese richtig sind.

Danke

12.11.2006, 17:59

vektorraum

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Zitat:

Original von non@me

kannst du mir den komplette Lösungsweg geben.
So kann ich bei anderen Aufgaben leichter nachvollziehen, ob diese richtig sind.

Danke

Sorry, aber kannst mir ruhig glauben, dass ich das kann - hab das sicher schon tausend mal rechnen müssen - also wird das schon richtig sein. Bringt dir ja nix, wenn ich dir ne Lösung vorsetze!

OK! Wir versuchen es zusammen, einverstanden???

zu 2. Das stimmt, wenn du die Nullstelle suchst, musst du die Gleichung Null setzen, also immer der Ansatz

$\begin{eqnarray*} 0=mx+n \end{eqnarray*}$

Und bei der Suche nach dem Schnittpunkt mit der y-Achse immer

$\begin{eqnarray*} y=m\cdot 0 + n \end{eqnarray*}$

Und nicht vergessen, es ist nach einem Punkt gefragt - also Ergebnis auch richtig hinschreiben!

Also, schon mal was von Ableitungen gehört???

Was sagt dir denn das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ in der linearen Gleichung aus. Was passiert für $\begin{eqnarray*} m>0, m<0 \end{eqnarray*}$ ???

Und was muss gelten, wenn ein Punkt auf der Geraden liegen muss??? Stichwort: Einsetzen...

12.11.2006, 18:01

HeroOfTheDay

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RE: Steigungswinkel/Schnittpunke berechnen

Zitat:

Original von non@me
Hallo,

wer kann mir helfen ich muss folgende Aufgabe lösen:

Gegeben ist die Gerade g : y = -4/3 x + 4/5 , X E R.
1. gebe die Steigungswinkel der geraden an.
2. Berechne die Schnittpunkte und Schnittwinkel der geraden mit den Koordinatenachsen
3.Gebe de Gleichung der Parallelenzu g durch P (-2 / 1) an.

Ermittle rechnerisch , ob die folgenden Punkte auf einer Geraden liegen.
P(-4 /1), Q(2,5 / -1,5) und R(4 / -2)

solche Aufgaben kommen morgen in einem Test dran und ich weiss nicht wie ich diese lösen soll.

Vielen Dank

Hallo,
1. hast du schonmal etwas von einem Steigungsdreieck gehört? --> anwenden.
2.Gerade =0 setzen.
3. Die Steigung muss gleich sein.

Mehr Tips geht nicht, Aufgabe selbst lösen, ist immer die bessere Alternative.

MfG

12.11.2006, 19:23

non@me

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hallo danke für die Hilfe

da ich kein dsl habe, bin ich nicht immer online (kostet zuviel)

ich habe mal was ausgearbeitet, allerdings muss da irgendwo ein fehler sein, denn bei der Gegenprobe kommt ein anderes Ergebnis raus.
bin da schon 1 1/2 h bei und finde den Fehler nicht

b) y = 0 = -4/3 x + 4/5 // -4/5
y = -4/5 = -4/3 x //: -4/3

x = 3/5

Y= -4/3 * 0x +4/5

Y = - 8 1/15

c)
Y = mx +b

Y = - 8 1/15 + 1
Y = - 7 1/15

X = 3/5 + -2
X = 1 2/5

Y = mx +b
Y= -7 1/15 = -4/3 * 1 2/5 +b

-7 1/15 = -1 13/15 +b // + 1 13/15
b = 5 1/15

13.11.2006, 16:03

vektorraum

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Hi!

So - wollen wir das ganze mal durchgehen...
Du sollst in b) die Schnittpunkte mit den Achsen berechnen. Du hast aber bei erstens nur die Nullstelle berechnet. Der Unterschied besteht darin, dass du das ganze nur noch in die Form eines Punktes bringen musst mit $\begin{eqnarray*} P(x,y) \end{eqnarray*}$ . Was dein x ist weißt du ja jetzt, dein y müsstest du auch schon wissen Augenzwinkern

Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die ein Fehler unterlaufen. Du setzt doch für das x einfach ein, d.h. es müsste heißen:

$\begin{eqnarray*} y=-\cfrac{4}{3}\cdot 0 + \cfrac{4}{5} \end{eqnarray*}$

Das schöne an linearen Funktion ist aber, dass man den Schnittpunkt immer sofort ablesen kann, denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} y=mx+n~\Rightarrow~S_y(0/n) \end{eqnarray*}$

So, also schreib das nochmal alles auf...

Außerdem fehlen da noch die Schnittwinkel. Da gilt wiederum

$\begin{eqnarray*} \tan \alpha=m \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \alpha=\operatorname{Schnittwinkel~mit~der~x-Achse} \end{eqnarray*}$ ist.

Dann schaust du dir an, welche Fläche die Funktion mit den Achsen einschließt und du kannst dann den Winkel mit der y-Achse bestimmen.

c) Die gesuchte Gerade hat den gleichen Anstieg, wenn beide parallel seien sollen. Also gilt:

$\begin{eqnarray*} y=-\cfrac{4}{3}~x+n \end{eqnarray*}$

So, und wenn die durch den angegebenen Punkt gehen soll, was musst du da einfach machen...

So, das reicht erstmal. Ich hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte Wink

14.11.2006, 16:51

non@me

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Schnittwinkel
Hallo danke für die schnelle Hilfe,
ihr habt echt ein super Forum :-)

so habe nochmal an den Aufgaben getüftelt, leider weiss ich immer noch nicht, wie ich die Schnittwinkel berechnen kann.

Gegeben ist die Gerade Y = -4/3 x + 4/5
a) gebe den Steigungswinkel der Geraden an.

Y= mx +b
Y= -4/3 x +4/5
m= Tan (a) = -53,13 ° muss ich hier -53,13°+180° = 126, 87°??? rechnen, da -53,13° negativ ist???
b) Berechne die Schnittpunkte(0 Setzen) und Schnittwinkel der Geraden mit den Koordinatenachsen.

Y=m*0x+b
Y= -4/3 *0x+4/5
Y= 4/5

0= mx+b
0= -4/3x +4/5 /- 4/5
0 – 4/5= 4/3x /:4/3
3/5 =X

P(X;Y)
P(3/5;4/5)

c)
gebe die Gleichung der Parallelen zu g durch P(-2/1) an m

Y∏= -4/3x +b
1= -4/3x +b
1= -4/3 * (-2) +b
1 = 2 2/3 +b // -2 2/3
b = 1 2/3

Ergebnis:
Y = -4/3 * (-2) + 1 2/3 oder so 1 = -4/3 * (-2) + 1 2/3 ??

d)gebe die Gleichung zur Orthogonalen zu g durch P (-2/1) an

Orthogonalitätsbediengung m1 * m2 = -1
-4/3 * mo = -1 / :-4/3
mo = -1: -4/3
mo = ¾
Yo = ¾ * x +b
1= 4/3 * -2 +b
1 = 2 2/3 +b --> b = 1 2/3

Yo= 4/3 * x + 1/23

15.11.2006, 13:07

vektorraum

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RE: Schnittwinkel
Hi!

Also - ich schaue sehr erstaunt über deine Lösung rüber und muss leider feststellen, dass das nicht so ganz klappt... verwirrt

Welche Klasse bist du denn überhaupt - nicht, dass ich zuviel voraussetze. Aber hier scheint es ja an den elementaren Grundlagen zu hapern...

Also - wieder Schritt für Schritt!
a) Du kennst die allgemeine Geradengleichung. Dabei ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Verschiebung entlang der y-Achse. Und zwar genau so, dass wenn $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ ist, die Gerade durch den Koordinatenursprung geht. Wenn $\begin{eqnarray*} n>0 \end{eqnarray*}$ , dann ist der Schnittpunkt mit der y-Achse oberhalb des Nullpunktes, also folglich wenn $\begin{eqnarray*} n<0 \end{eqnarray*}$ liegt er unterhalb des Nullpunktes. Allgemein gilt für den Schnittpunkt bei linearen (!!!) Funktionen: $\begin{eqnarray*} S(0/n) \end{eqnarray*}$ (siehe oben). Dass heißt, der Schnittpunkt verläuft ja nur entlang der y-Achse, d.h. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist immer (!) Null.
Die Nullstelle ist diejenige Stelle, an denen der Funktionswert (dein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ) Null wird, d.h es gilt:

$\begin{eqnarray*} 0=mx+n \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung versuchst du immer nach x aufzulösen. Man kann sich auch die Formel merken:

$\begin{eqnarray*} x_0=-\frac{n}{m} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ die Schnittstelle mit der x-Achse ist.
Dass heißt, dein Schnittpunkt mit der x-Achse hat immer (!!!) die Form:

$\begin{eqnarray*} S_x(-\frac{n}{m},0) \end{eqnarray*}$

Du machst immer den gleichen Fehler, dass du nicht für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ was einsetzt, sondern was ganz anderes tust verwirrt

Weißt du überhaupt was eine Funktion ist???

Zum Schnittwinkel:
Der Schnittwinkel mit der x-Achse ist gerade

$\begin{eqnarray*} \tan(\alpha)=m \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ also der Schnittwinkel ist. Du musst jetzt nur noch dein Anstieg einsetzen und nach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ umformen, d.h.

$\begin{eqnarray*} \alpha=\arctan(m) \end{eqnarray*}$

Kann jetzt leider nicht nachrechnen, ob dein Ergebnis stimmt, weil ich grad kein Taschenrechner hier habe. Rechne es später nach. Wenn es stimmt, dann siehst du doch, wenn du dir die Funktion mal einzeichnest in irgendein Koordinatensystem, dass es mit den Achsen ein rechtwinkliges Dreieck bildet. D.h. der Schnittwinkel mit der y-Achse ist einfach

$\begin{eqnarray*} \beta=180-90-\alpha \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ja der Schnittwinkel mit der y-Achse sein soll. Verständlich???

Zu c) Auf den ersten Blick sieht das ganz gut aus Freude

Jetzt musst du natürlich noch eine Geradengleichung aufstellen, d.h. wieder eine Funktion $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Also setzt du einfach jetzt für eine zweite Funktion $\begin{eqnarray*} y=ax+b \end{eqnarray*}$ deine Werte ein, also für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ den Anstieg und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Verschiebung entlang der y-Achse. Und dann bist du fertig!

zum letzten: bis zu

$\begin{eqnarray*} y=\cfrac{3}{4}x+n \end{eqnarray*}$ ist alles richtig!

Jetzt musst du aber natürlich den Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ in diese Gleichung einsetzen!

So, hoffe ich konnte dir weiterhelfen! Aber ein Kompliment an dich, dass du versuchst es zu verstehen und so eisern durchhälst... Mach weiter so! Wink

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