Verkettungen und Bijektivität

27.10.2010, 11:46

Mr.Eisen

Verkettungen und Bijektivität

Ich habe folgende Abbildungen gegeben:

$\begin{eqnarray*} f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C, h: C \rightarrow D \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ seien bijektiv.

Nun ist zu zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} f, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ bijektiv sind.

$\begin{eqnarray*} g \circ f: A \rightarrow C, a \rightarrow g(f(a)) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ bijektiv, gilt, dass für alle $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} g(f(a)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a = g(f(a)) \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das soweit?
Nur, wie kann ich anhand dieser Information die Bijektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ beweisen?

Kann mir jemand einen Tipp geben?

27.10.2010, 12:02

Mazze

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Zitat:

Da bijektiv, gilt, dass für alle existiert ein mit .

Diese Aussage ist falsch, wie kommst Du da drauf?

Ich würde anders heran gehen :

Wenn $\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, was weisst Du dann über g ?

Wenn $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, was weisst Du dann über g ?

28.10.2010, 10:21

Mr.Eisen

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Also, wenn $\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv (und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ surjektiv) ist.

Wenn $\begin{eqnarray*} g \circ h \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ surjektiv und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ injektiv.

Daraus folgt dann natürlich die Bijektivität von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ...die beiden oben genannten Eigenschaften habe ich nachgelesen. Ich denke aber, dass ich diese Eigenschaften dann wieder beweisen müsste.

Oder hattest du etwas anderes im Sinn?

Danke. smile

28.10.2010, 15:25

Mazze

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Ich meinte schon genau das. Dein Problem ist das Du nur weisst das

$\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, über $\begin{eqnarray*} g \circ h \end{eqnarray*}$ weisst Du doch nichts. Du weisst aber das g bijektiv sein muss, und daraus kannst Du die Bijektivität der anderen beiden ableiten.

31.10.2010, 10:35

Mr.Eisen

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Hallo nochmal,

erstmal danke für die Antwort. smile

Also, wegen $\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv ist. Wegen $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ surjektiv ist. Also folgt, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bijektiv ist.

Meine Idee wäre jetzt:

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} g \circ f: A \rightarrow C ; a \mapsto g(f(a)) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ , dann gibt es also ein $\begin{eqnarray*} g(f(a)) \in C \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} g(f(a)) \in C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: B \rightarrow C \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, ist $\begin{eqnarray*} g(f(a)) \in B \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} f: A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ bijektiv.

01.11.2010, 08:00

Mr.Eisen

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Oder liege ich da komplett falsch? :/

01.11.2010, 09:24

Mazze

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Zitat:

Also, wegen weiß ich, dass injektiv ist. Wegen weiß ich, dass surjektiv ist. Also folgt, dass bijektiv ist.

Genau umgedreht. Wegen $\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ bijektiv , ist h surjektiv und g injektiv. Wegen $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ bijektiv, ist g injektiv und f surjektiv.

Zitat:

a und bijektiv ist, ist . Also bijektiv.

Beide Schlussfolgerungen sind falsch. Du weisst das g bijektiv ist. Und willst zeigen, dass dann auch f und h bijektiv sind.

Du zeigst also :

f injektiv (wird dir geschenkt)
f surjektiv

h injektiv
h surjektiv (wird dir geschenkt)

Sprich Du musst lediglich zeigen das h injektiv und f surjektiv ist. Beides machst Du mit Widerspruchsbeweis.

01.11.2010, 11:48

Mr.Eisen

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Hallo,

ich habe jetzt so angefangen:

Ich weiß, dass bzw. ich kann voraussetzen:

$\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ ist bijektiv und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist bijektiv und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist surjektiv.

Zu zeigen ist nun, dass $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

Annahme: $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist nicht injektiv.

Dann gibt es $\begin{eqnarray*} x, y \in C \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} h(x)=h(y) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, gibt es für alle $\begin{eqnarray*} y \in C \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(b)=y \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, gibt es für alle $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} h(g(b)) \in D \end{eqnarray*}$ so dass gilt: $\begin{eqnarray*} b = h(g(b)) \end{eqnarray*}$ (ist das richtig?)

Soweit die Information, die ich aus den Voraussetzungen gegeben habe. Ich komme aber nicht darauf, wie ich daraus einen Widerspruch ableiten kann. :/
Ich muss ja zeigen, dass irgendetwas nicht stimmen kann, wenn $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ nicht injektiv ist. verwirrt

01.11.2010, 12:12

Mazze

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So, jetzt noch mal von vorne. Ich hab die Komposition falschrum gelesen die Ganze zeit, so ists richtig :

$\begin{eqnarray*} (h \circ g) (x) = h(g(x)) \end{eqnarray*}$ bijektiv
$\begin{eqnarray*} (g \circ f) (x) = g(f(x)) \end{eqnarray*}$ bijektiv

Damit muss g bijektiv sein, und h injektiv, als auch f surjektiv. Zu zeigen ist also , dass h Surjektiv ist, und f Injektiv. Du hattest vorher also recht ! Im Prinzip müssen wir so aber nur die Bezeichner austauschen, die Beweise bleiben die gleichen.

Surjektivität von h. Nehmen wir an , h wäre nicht Surjektiv. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} y \in D \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} h(x) \neq y \end{eqnarray*}$ für alle x in C. Wegen der Bijektivität von g gilt dann aber was ... ?

01.11.2010, 14:26

Mr.Eisen

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Ah, alles klar. Hat mich etwas verwirrt, als du es gerade andersherum geschrieben hast. Augenzwinkern

Also, wegen der Bijektivität von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ weiß ich, dass es $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} g(b) = x \end{eqnarray*}$

Mehr kann ich anhand von g noch nicht darüber aussagen, oder? Dann muss ich noch die Bijektivität der Verkettung $\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ verwenden.

Da die Verkettung $\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, gilt, für $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} b = h(g(y)) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h(g(y)) \in D \end{eqnarray*}$ .

Aber ich schätze, dass ich etwas ganz offensichtliches übersehe.

01.11.2010, 15:04

Mazze

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Wegen der Bijektivität von g, kannst Du jedes x eindeutig mit einem $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \in B \end{eqnarray*}$ identifizieren, so dass $\begin{eqnarray*} x = g(\tilde{x}) \end{eqnarray*}$ gilt. Damit gilt für alle $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \in B \end{eqnarray*}$ , dass ... ? Welcher Eigenschaft widerspricht dies?

01.11.2010, 15:33

Mr.Eisen

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Für alle $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \in B \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} g(\tilde{x}) = x \end{eqnarray*}$ (wegen der Bijektivität von g).

Das widerspricht dann der Eigenschaft, dass es $\begin{eqnarray*} y \in D \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} h(x) \neq y \end{eqnarray*}$ ; wegen der Bijektivität von $\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ .

01.11.2010, 15:45

Mazze

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Zitat:

Für alle gibt es ein , so dass (wegen der Bijektivität von g).

Das widerspricht dann der Eigenschaft, dass es gibt, so dass ; wegen der Bijektivität von .

So ist es nicht richtig. Ich schreibs dir mal hin :

Wir nehmen an, h wäre nicht Surjektiv. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} y \in D \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$ gilt : $\begin{eqnarray*} h(x) \neq y \end{eqnarray*}$ . Da g bijektiv ist, können wir jedes dieser xe mit genau einem x-tilde identifizieren : $\begin{eqnarray*} x = g(\tilde{x}) \end{eqnarray*}$ . Insgesamt steht dann da :

Für alle $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \in B \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (h \circ g)(\tilde{x}) \neq y \end{eqnarray*}$

Welcher Eigenschaft Widerspricht diese Aussage?

mc77777 : Komplettlösungen oder Links dazu werden hier nicht tolleriert. Siehe Boardprinzip

01.11.2010, 16:43

Mr.Eisen

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Das widerspricht doch der Bijektivität von $\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ .
Aber das hatte ich eigentlich auch vorhin gemeint...entweder das ist falsch oder ich habe es vorhin nur falsch angeschrieben.

Übrigens vielen Dank, dass du mir hier so nachhilfst...ist ja nicht selbstverständlich.

01.11.2010, 19:02

Mazze

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Zitat:

Das widerspricht doch der Bijektivität von $\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ .

exakt ! Genauer, der Surjektivität eben dieser.

Zitat:

Aber das hatte ich eigentlich auch vorhin gemeint...entweder das ist falsch oder ich habe es vorhin nur falsch angeschrieben.

Dann hab ich dich nicht verstanden Augenzwinkern

Zitat:

Übrigens vielen Dank, dass du mir hier so nachhilfst...ist ja nicht selbstverständlich.

Solange die Leute über die Tips nachdenken, machts durchaus spaß Augenzwinkern