Grad einer Körpererweiterung

27.10.2010, 14:59

Merlinius

Grad einer Körpererweiterung

Hi, also ich muss zeigen, dass

Zitat:

$\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt{2}, \sqrt{1+i}) : \mathbb Q] = 8 \end{eqnarray*}$

gilt. Meine Idee war jetzt, den Zwischenkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{1+i})/ \mathbb Q \end{eqnarray*}$ zu betrachten und über die Gradformel zum Ergebnis zu kommen.

Also das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+i} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x^4 -2x^2 + 2 \end{eqnarray*}$ (irreduzibel nach Eisensteinkriterium mit $\begin{eqnarray*} p = 2 \end{eqnarray*}$ ). Also folgt: $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt{1+i}) : \mathbb Q] = 4 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} Q(\sqrt{2}, \sqrt{1+i}) \end{eqnarray*}$ eine quadratische Erweiterung ist von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{1+i}) \end{eqnarray*}$ , wäre ich fertig. Also $\begin{eqnarray*} (\sqrt 2)^2 \in \mathbb Q(\sqrt{1+i}) \end{eqnarray*}$ ist klar, aber wie kann ich am einfachsten schließen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \notin \mathbb Q(\sqrt{1+i}) \end{eqnarray*}$ gilt?

Oder ist mein gesamter Ansatz unnötig kompliziert?

Meine enzige Idee dazu wäre bisher, dass wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \in \mathbb Q(\sqrt{1+i}) \end{eqnarray*}$ gälte, dann wäre $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{1+i}) \end{eqnarray*}$ eine Körpererweiterung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ und aus der Gradformel folgt mit $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt{1+i}) : \mathbb Q] = 4 \end{eqnarray*}$ dann, dass

$\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt{1+i}) : \mathbb Q(\sqrt 2)] = 2 \end{eqnarray*}$

gelten würde. Und das könnte man ggf. zu einem Widerspruch führen, was mir bisher nicht gelungen ist.

Es wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte damit smile

27.10.2010, 15:21

kiste

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Was ist eine Basis deines Körpers? Nehme an Wurzel 2 ist in dieser Basis darstellbar und finde einen Widerspruch

27.10.2010, 15:32

Merlinius

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Ich hatte gehofft, keine Basis angeben zu müssen. Ich nehme an, eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{1+i}) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \{1, \sqrt{1+i}, i, \sqrt{-1-i}\} \end{eqnarray*}$ ,
da $\begin{eqnarray*} i \cdot \sqrt{1+i} = \sqrt{-1-i} \end{eqnarray*}$ .

Aber zu davon die lineare Unabhängigkeit zu zeigen, scheint mir doch sehr kompliziert. Geht es wirklich nicht einfacher? Oder übersehe ich gerade, wie man die lineare Unabhängigkeit des Systems leicht zeigen kann? Und dann zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ nicht als Linearkombination darstellbar ist, erfordert doch nochmal den selben Rechenaufwand, oder nicht?

27.10.2010, 15:56

kiste

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Die lineare Unabhängigkeit kriegst du durch nen Satz geschenkt, keine Ahnung ob ihr den jedoch hattet. Du könntest auch den anderen Weg gehen und erst Wurzel 2 adjungieren und dann dein Polynom x^4-2x^2+2 zerlegen und somit zeigen dass es auch irreduzibel über dem Erweiterungskörper ist

27.10.2010, 17:26

Merlinius

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Also ich habe es jetzt noch länger als eine Stunde versucht, aber es gelingt mir nicht. Mir ist auch aufgefallen, dass das Eisensteinkriterium überhaupt nicht anwendbar ist. Damit ist der erste Teil des Beweises sowieso hinfällig.

Es läuft also darauf hinaus, dass ich zeigen muss, dass $\begin{eqnarray*} x^4-2x^2+2 \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ und das will mir nicht gelingen. Ich kenne keinen Satz dazu, also muss ich praktisch zeigen, dass es keine Polynome vom Grad 1-3 gibt, die $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+i} \end{eqnarray*}$ als Nullstelle haben? Und da scheitere ich bereits bei Grad 2 unglücklich

Geht es vielleicht irgendwie einfacher? Oder kann mir jemand helfen mit der Irreduzibilität des Polynoms? Bisher habe ich halt versucht, allgemein ein Polynom der Form $\begin{eqnarray*} aX^2 + bX + c \in \mathbb Q(\sqrt 2)[X] \end{eqnarray*}$ aufzustellen, $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+i} \end{eqnarray*}$ einzusetzen und einen Widerspruch herbeizuführen (wie z.B. " $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+i} \end{eqnarray*}$ müsste in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt 2, i) \end{eqnarray*}$ sein"), aber da komme ich nicht weit.

28.10.2010, 01:15

Merlinius

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geschafft! nach vielen stunden des herumrechnens ist es mir gelungen, die irreduzibilität über Q(wurzel 2) zu zeigen smile

danke auf jeden fall

nach dem studieren der einschlägigen literatur scheint es mir auch nicht wesentlich einfacher zu gehen, ohne sätze zu benutzen, die ich nicht zur verfügung habe.

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