komplexe nullstellen annähern

27.10.2010, 15:33

wagner

komplexe nullstellen annähern

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine frage bzgl. des ausrechnen von Komplexen Nullstellen.
Ich hab gelesen, dass man es durch ein Iterationsverfahren machen kann.

Ich versteh nicht wie das funktioniert und wie man das geometrisch deuten kann.

Bsp:
$\begin{eqnarray*} x^{3}+x^{2}+1=0 \end{eqnarray*}$

Die Lösungen habe ich mal durch ein Programm berechnet.
(gerundet)

x1=-1,4
x2=0,23-0,79i
x3=0,23-0,79i

Also wie kommt man auf diese lösungen, mit einem Iterationsverfahren?

Meine Ideen:
keine

27.10.2010, 21:40

Cugu

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Das Standardverfahren zur Nullstellenberechnung dürfte das Newton-Verfahren sein.

Man benötigt einen Startwert $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .
Dann wählt man noch eine gewünschte Genauigkeit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und maximale Schrittzahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .
Man setzt $\begin{eqnarray*} z_1=c \end{eqnarray*}$ und iteriert:

Für $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ Ist $\begin{eqnarray*} |F(z_i)| < e \end{eqnarray*}$ , so ist man fertig.
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ Sonst setze $\begin{eqnarray*} z_{i+1}=z_i-\frac{F(z_i)}{F'(z_i)} \end{eqnarray*}$ .

Die Idee dahinter ist eine Linearisierung von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .
Wäre $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ (affin-) linear, so würde $\begin{eqnarray*} F(x)=0+A\cdot (x-z) \end{eqnarray*}$ für eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gelten.
Wenn man das umstellt, so erhält man $\begin{eqnarray*} z=x-\frac{F(x)}{A} \end{eqnarray*}$ .

Bei so netten Beispielen, wie deinem, erhält man durch Wahl verschiedener Startwerte sehr schnell alle Lösungen.
Im Allgemeinen braucht man möglicherweise andere Abbruchkriterien, Dämpfung etc.

Wie man sich das im eindimensionalen geometrisch vorstellen kann zeigt:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?titl...=20070620093844

27.10.2010, 21:42

tigerbine

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Und wie findest du die komplexen mit Newton?

27.10.2010, 22:09

Cugu

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Indem du einen passenden Startwert wählst. Im Grunde ist die Dimension egal.
Die komplexen Zahlen sind sogar noch netter als der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , weil man keine Gleichungssysteme lösen muss, sondern wie oben die Inverse nehmen kann.
Z.B. mit $\begin{eqnarray*} c=0.1+0.1i \end{eqnarray*}$ erhalte ich nach $\begin{eqnarray*} 11 \end{eqnarray*}$ Schritten $\begin{eqnarray*} 0.232785615938390 - 0.792551992515445i \end{eqnarray*}$ .
Das stimmt auf $\begin{eqnarray*} 12 \end{eqnarray*}$ Stellen mit der Lösung von Maxima überein, die kit der Lösungsformel bestimmt wird.

Hier kann man sehen für welchen Startwert man bei welcher Nullstelle landet:
[attach]16379[/attach]

Wenn man genauer auflöst, sieht man wo $\begin{eqnarray*} 0.1+0.1i \end{eqnarray*}$ landet:
[attach]16381[/attach]

Für die $\begin{eqnarray*} 400 \cdot 400 \end{eqnarray*}$ Startwerte braucht man nicht einmal eine Minute.

28.10.2010, 23:14

wagner

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Zitat:

Wie man sich das im eindimensionalen geometrisch vorstellen kann zeigt: http://de.wikipedia.org/w/index.php?titl...=20070620093844

das weiß ich, aber mich interessiert, wie es im komplexen aussieht.
ich hab da irgendwas von streckfaktor gehört und dass es sich dem punkt kreisförmig annähert

29.10.2010, 23:00

Cugu

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Naja, das Problem ist, dass man nicht $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ -D zeichnen kann...

Aber natürlich kann man gucken, wo die $\begin{eqnarray*} z_i \end{eqnarray*}$ in der komplexen Ebene liegen.
Der Weg muss doch dem durch $\begin{eqnarray*} -\frac{F(z)}{F'(z)} \end{eqnarray*}$ gegebenen Vektorfeld folgen.

[attach]16396[/attach]
Kreisförmig würde ich das nicht wirklich nennen. Ich weiß auch nicht genau, was du mit Streckfaktor meinst.

Möglicherweise meinst du aber auch eine speziell für komplexe Zahlen ausgerichtete Variante des Newton-Verfahrens oder ein ganz anderes Verfahren...

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