beweisen (fakultät)

27.10.2010, 16:17

belllaaa

beweisen (fakultät)

Beweisen Sie,dass für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} n!\leq 2(\frac{n}{2})^n \end{eqnarray*}$

Könnt ihr bitte n tipp geben oder n ansatz smile

27.10.2010, 20:59

pseudo-nym

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Versuch doch mal vollständige Induktion.

28.10.2010, 20:24

belllaaa

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jaa stimmt vollständige induktion smile

dann setzte ich als erstes ma als induktionsanfang n=1 also:

$\begin{eqnarray*} 1!\leq 2(\frac{1}{2})^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1!\leq 1 \end{eqnarray*}$

also ist das schon ma wahr als nächstes setzte ich dann für n=n+1 ein

$\begin{eqnarray*} n+1!\leq 2(\frac{n+1}{2})^{n+1} \end{eqnarray*}$

ist es soweit richtig?

man weiß doch bei einer vollständigen induktion was am ende stehn muss woher sehe ich das und was steht denn am ende dieser induktion...was ist mein ziel und wie muss ich weiter machn verwirrt

29.10.2010, 01:06

pseudo-nym

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Zitat:

also ist das schon ma wahr als nächstes setzte ich dann für n=n+1 ein $\begin{eqnarray*} n+1!\leq 2(\frac{n+1}{2})^{n+1} \end{eqnarray*}$

Das ist genau was du im Induktionsschritt beweisen musst.
Du fängst also auf einer Seite an und schätzt solange ab bis die andere herauskommt.
Benutzen darfst du dabei unter anderem die Induktionsvorraussetzung für alle Zahlen die kleiner als $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ sind.
Am besten fängst du mit der linken Seite an.

29.10.2010, 12:45

belllaaa

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RE: beweisen (fakultät)
also ich habe jetzt :

$\begin{eqnarray*} n!(n+1)\leq 2(\frac{n+1}{2})^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n!(n+1)\leq 2(\frac{n+1}{2})^{n}\cdot (\frac{n+1}{2})^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)!\leq 2(\frac{n+1}{2})^{n+1} \end{eqnarray*}$

und weiter verwirrt

29.10.2010, 13:14

klarsoweit

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RE: beweisen (fakultät)
Was soll denn das? Da hast du dich doch nur einmal im Kreis gedreht. Du hast auch nicht den Tipp von pseudo-nym beherzigt: "Am besten fängst du mit der linken Seite an."

Nimm also mal die linke Seite und schätze mittels der Induktionsvoraussetzung nach oben ab.

Nutze auch folgende Ungleichung: $\begin{eqnarray*} 2 < (\frac{n+1}{n})^n \end{eqnarray*}$

29.10.2010, 13:30

knopf

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RE: beweisen (fakultät)
also ich hätte jetzt gedacht, dass man zb auf der linken Seite die Induktionsvorraussetzung einsetzen kann. Aber irgendwie komme ich damit auch nicht weiter verwirrt

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