Betrag eines Komplexen Bruches

27.10.2010, 19:15	crafti5	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrag eines Komplexen Bruches Hallo Leute, Ich habe ein Problem (vielleicht auch nur ein Verständnisproblem). Diese Aufgabe hier lässt mich fast verzweifeln :/ $\begin{eqnarray} \frac {i-1} {i+1} \end{eqnarray}$ Ich weiß nur das der Betrag aus der Standard so funktioniert: $\begin{eqnarray} z=x+iy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|z\|=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ aber jetzt weiß ich nicht, wie genau ich den Bruch da mit einbezieh, wäre nett wenn mir dabei jemand helfen könnte
27.10.2010, 19:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac {i-1}{i+1}=\frac{(i-1)(i-1)}{(i+1)(i-1)} \end{eqnarray}$
27.10.2010, 19:25	crafti5	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann klammer ich aus: $\begin{eqnarray} \frac {i^2-i-i-1}{i^2-i+i-1} \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} i^2=-1 \end{eqnarray}$ ist. Kann ich das ja dann einsetzen. $\begin{eqnarray} \frac{-2-2i}{-2} \end{eqnarray}$ kann ich dann sagen das $\begin{eqnarray} -1-i \end{eqnarray}$ heraus kommt und dann kann ich mit meiner Betragsrechnung normal fortfahren? also $\begin{eqnarray} \|z\|=\sqrt{(-1)^2+(1)^2}=1 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \|z\|=1 \end{eqnarray}$ ist das dann richtig?
27.10.2010, 19:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausklammern war schon eine ganz gute Idee, die Anwendung binomischer Formeln wäre noch besser gewesen, dann wäre der Fehler im Zähler nicht passiert.
27.10.2010, 19:42	crafti5	Auf diesen Beitrag antworten »
wie blöd :/ $\begin{eqnarray} z=\frac{i^2-i-i+1}{i^2-i+i-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=\frac{-2i}{-2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|z\|=1 \end{eqnarray}$ Bei der Aufgabe ändert sich gottseidank nichts am Betrag. Danke Elvis
27.10.2010, 19:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war besser. Für zukünftige Divisionen von komplexen Zahlen bitte diesen Standardtrick merken: $\begin{eqnarray} \frac {a+bi}{c+di}=\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac {(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} \end{eqnarray}$ , womit die Division auf die einfachere Multiplikation zurückgeführt wäre. Noch ein Witz: Am Betrag hat sich nur deshalb nichts geändert, weil du den beim ersten Versuch auch noch falsch berechnet hast.
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27.10.2010, 20:08	crafti5	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt seh ich den Fehler auch Man sollte alles nochmal kontrollieren und am besten die Addition nochmal üben Danke für den Tip
28.10.2010, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. In Kurzform schreibt man das übrigens so: $\begin{eqnarray} \frac z w = \frac {z\overline w}{w\overline w}=\frac {z\overline w}{\|w\|} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \overline .:\mathbb C\to \mathbb C,w\to \overline w \end{eqnarray}$ die komplexe Konjugation und $\begin{eqnarray} \|.\|:\mathbb C\to \mathbb R, w\to \|w\| \end{eqnarray}$ der Betrag ist.
28.10.2010, 18:38	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} \left\|\frac{z}{w}\right\| = \frac{\|z\|}{\|w\|} \end{eqnarray}$ hätte sich übrigens jede Rechnung erübrigt, da Zähler und Nenner hier offensichtlich den selben Betrag haben.
28.10.2010, 18:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin beeindruckt.

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