Fragen zur Kurvendiskussion

27.10.2010, 19:23

abiturient_61

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Fragen zur Kurvendiskussion

Hallöchen ^^

wir bekamen ne Hausaufgabe auf...

die funktion lautet:

f(x)= x mal sqrt(x+6)..

was wir herausfinden sollen:

-Definitionsbereich
-Nullstellen
-Extrempunkte...

1.Was mir selbst dazu eingefallen ist: also der inhalt der wurzel darf ja nicht negativ sein, also gilt der definitionsbereich ab x=6 ? ich habe keinerlei erfahrung mit dem formulieren solcher sätze zum definitionsbereich...

2.kommen wir zu den nullstellen.. die erste nullstelle wäre "0".. die zweite wäre
"-6"... das ist nicht schwer ^^

3. Extrempunkte.. also die ableitung muss bei extrempunkten 0 sein... oder lieg ich da falsch Big Laugh

Big Laugh

ne, ist schon richtig... können aber auch sattelpunkte sein ^^

hmm.. also.. dann würde ich erstmal die erste ableitung der funktion bilden...

an den stellen, an denen die funktion extrempunkte hat, hat die ableitung nullstellen... d.h. die ableitung muss 0 sein..

so meine fragen.. erstmal ob die denkschritte von mir richtig sind..

anschließend:
-meine frage bei dem definitionsbereich.. wie man die sätze formuliert..

- wie bilde ich die ableitung von dem funktionsterm ?

3 (x+4)
_______
2 sqrt(x+6)

das hab ich mithilfe von Derive 6 herausgefunden... wie kommt man zu dem ergebnis.. durch die Produktregel?

könnte einer das vormachen bitte?

edit "Hilfe bei meinen Hausaufgaben" beschreibt zwar deine Lage, ist aber als Titel nicht aussagekräftig, daher geändert.

27.10.2010, 20:19

Equester

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1.Was mir selbst dazu eingefallen ist: also der inhalt der wurzel darf ja nicht
negativ sein, also gilt der definitionsbereich ab x=-6 ?

Du hast da wohl ein Minus vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten siehts bisher ganz gut aus.
Zu deinen Ableitungen...Was möchtest du jetzt ableiten? f(x) oder den Term da unten?
Du hast einen Quotienten...also Quotientenregel. Die reicht aber nicht aus!

Den Definitionsbereich schreibt man z.B. so

$\begin{eqnarray*} D=x\epsilon R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\geq -6 \end{eqnarray*}$

27.10.2010, 21:09

abiturient_61

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ne ich frag mich wie man zu dem da unten abgebildeten term kommt... also zu dem bruch der da abgebildet ist..

und da hab ich gefragt: durch die produktregel?

das ist ja die ableitung der funktion.. die brauch ich ja um auf hoch-/tiefpunkte zu testen..

wenn x halt 0 ist, gibts andeutungen auf extrempunkte.. und dann benutz ich halt den vorzeichenwechsel, der mir dann mitteilt, ob es sich um hoch oder tiefpunkt handelt..

das kann man auf 2 arten machen.. einmal tabellarisch.. und einmal mit teststellen..

wenn die nullstellen z.b. x=2 und x=6 wären, könnte man sich halt werte drumrum aussuchen... x=1, x=3, x=7 <- zum beispiel..

die halt inne ableitung einsetzen und dann weiß man ob von - -> + oder + -> -..

das ist ja die ableitung, in die wir die werte einsetzen.. also würden wir bei - -> + nen tiefpunkt haben.. da der graph erst steigt und dann fällt...

27.10.2010, 21:33

Equester

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Aso ja, hab ich auch...ich hatte nicht zusammengefasst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ketten- und Produktregel ist hier angesagt!
Probiers mal, ich verbessere dich dann

27.10.2010, 21:38

abiturient_61

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hab die produktregel angewendet.. weiß nicht wie die kettenregel funzt..

also ich gib dir den term, bis wohin ich die produktregel angewendet habe :

hab jetzt nach dem prinzip u'v + uv' gemacht:

wurzel(x+6) + x mal 1/ 2 mal wurzel(x+6)

(alles nach dem bruchstrich gehört darunter, nicht denken, dass das nach dem "2 mal .." nach dem bruch kommt ^^ )

also..
wir haben in der schule gelernt, dass die ableitung von
wurzel(x) = 1/ 2 wurzel(x) beträgt.

also bin ich zu diesem ergebnis gekommen.. weiß nicht ob wir das jetzt vereinfachen könnten.. auf jeden fall ist meine frage:

bin ich bis hier hin richtig, und wenn ja, wie gehts weiter ?

27.10.2010, 21:45

abiturient_61

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Zitat:

Original von Equester
1.Was mir selbst dazu eingefallen ist: also der inhalt der wurzel darf ja nicht
negativ sein, also gilt der definitionsbereich ab x=-6 ?

Du hast da wohl ein Minus vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

jo, haste recht ^^

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27.10.2010, 21:46

Equester

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Yep so passt das auch schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\sqrt{x+6}+\frac{x}{2\sqrt{x+6}} \end{eqnarray*}$

Das lässt sich umformen zu deinem bereits bekannten Wert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dabei erweitere mit dem Nenner des Bruches smile

smile

27.10.2010, 21:51

abiturient_61

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Zitat:

Original von Equester
Yep so passt das auch schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\sqrt{x+6}+\frac{x}{2\sqrt{x+6}} \end{eqnarray*}$

Das lässt sich umformen zu deinem bereits bekannten Wert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dabei multipliziere mit dem Nenner des Bruches smile

smile

so 1. frage: wieso hast du x im nenner stehen ^^

2. frage: welchen bereits bekannten wert meinst du ? ^^

ich tu mich ein bisschen schwer, weil ich die kettenregel nicht anwenden kann..muss die mir mal anschauen, nach der aufgabe Big Laugh

Big Laugh

27.10.2010, 21:58

Equester

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Hast du doch auch?

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2\sqrt{x+6}}=x*\frac{1}{2\sqrt{x+6}} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Ich gehe davon aus, dass du mit Nenner den Zähler meinst. Also oben im Bruch!)

2. Du hast doch in deinem ersten Post unten einen Term stehen. Das ist die Lösung.
(Ich hatte das vorher nicht registiert, da ich deinen jetztigen Wert hatte und nicht
zusammengefasst hatte).
Hast du den selbst errechnet, oder ist das von nem Lösungsheft?

Wenn dus selbst gemacht hast, dann war das richtig. Sowohl der Term vom Anfang
als auch der eben errechnete!

3 (x+4)
_______ =wurzel(x+6) + x mal 1/ 2 mal wurzel(x+6)
2 sqrt(x+6)

(Um deine unübersichtliche Schreibweise zu kopieren :P)

27.10.2010, 22:06

abiturient_61

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Zitat:

Original von Equester
Hast du doch auch?

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2\sqrt{x+6}}=x*\frac{1}{2\sqrt{x+6}} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Ich gehe davon aus, dass du mit Nenner den Zähler meinst. Also oben im Bruch!)

2. Du hast doch in deinem ersten Post unten einen Term stehen. Das ist die Lösung.
(Ich hatte das vorher nicht registiert, da ich deinen jetztigen Wert hatte und nicht
zusammengefasst hatte).
Hast du den selbst errechnet, oder ist das von nem Lösungsheft?

Wenn dus selbst gemacht hast, dann war das richtig. Sowohl der Term vom Anfang
als auch der eben errechnete!

3 (x+4)
_______ =wurzel(x+6) + x mal 1/ 2 mal wurzel(x+6)
2 sqrt(x+6)

(Um deine unübersichtliche Schreibweise zu kopieren :P)

ahhh.. du meintest den ableitungsterm von vorhin.. dachte hier im forum is jeder sehr genau, deshalb konnt ich mit wert nix anfangen ^^ bin nen neuling, hab mich gerade angemeldet, ich entschuldige mich für meine schreibweise Big Laugh

Big Laugh

ehmm.. ich hab's mithilfe eines programmes (Derive 6) errechnet.. nehm ich eig nur als probe, aber heut hatt ich ja kein ergebnis, also hab ichs mir zur hilfe genommen ^^

also, jetzt hab ichs verstanden. ja, mit nenner meint ich zähler, hab mich verschrieben ^^

nun lautet meine frage, wie kommt man von dem eben errechnetem term zum oben gepostetem term? also zu

3 (x+4)
_______
2 sqrt(x+6)

ich weiß durch dir nun, dass es das gleiche ist, nur in einer anderen form.. selbst wär ich net drauf gekommen Big Laugh

Big Laugh

27.10.2010, 22:12

Equester

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Pff...Ich bin eigentlich Physiker! Habs net so mit der Genauigkeit der Fachausdrücke^^
Meiner ist zwar korrekt, aber eben nicht genau

Nimm meinen Tipp zu Herzen -> erweitere mit dem Nenner

27.10.2010, 22:21

abiturient_61

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0= wurzel(x+6) + x mal 1/ 2 mal wurzel(x+6) | mal 2 sqrt(x+6)
0= wurzel(x+6) + x

jetzt denkt mein kopf schon gar nicht mehr.. muss auf der linken seite 0 stehen? ich würd sagen ja.. 0 mal 2 sqrt(x+6) ist 0.. und auf der rechten seite isses weg.. oder rechne ich grad falsch?

27.10.2010, 22:25

Equester

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Das was du gerade machst ist schon ein Schritt weiter.
Du setzt bereits deine Ableitung f'(x)=0. Das machen wir gleich^^

Erst beantwortest du dir noch deine Frage selbst.
Dabei steht da nur ein Term! Keine Gleichung!

Abgesehen davon war deine Multiplikation falsch :P Es muss jeder Summand multipliziert werden!

Also neuer Versuch^^
Das haben wir: wurzel(x+6) + x mal 1/ 2 mal wurzel(x+6)
->
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\sqrt{x+6}+\frac{x}{2\sqrt{x+6}} \end{eqnarray*}$

(Versuch doch mal den "Formeleditor". Dann sieht mal alles viel leichter Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

27.10.2010, 22:38

abiturient_61

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falsch.. edited Big Laugh

Big Laugh

27.10.2010, 22:43

Equester

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Nein?
Oder meinst du die Anwendung des Formeleditors? Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\sqrt{x+6}+\frac{x}{2\sqrt{x+6}} \end{eqnarray*}$

Das ist dein Ausgangsterm. Du möchstest nun alles auf einem Bruchstrich haben.
Deswegen erweiterst du den ersten Teil mit dem Nenner des Bruchs.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\sqrt{x+6}*2\sqrt{x+6}}{2\sqrt{x+6}}+\frac{x}{2\sqrt{x+6}} \end{eqnarray*}$

Das kann man jetzt auf einen Bruchstrich schreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Den Zähler kann man ausmultiplizieren! Auf das gewünschte Ergebnis xD

27.10.2010, 22:45

abiturient_61

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jetzt versteh ich nicht wie du den bruchstrich da links auf einmal hast und den bruch da stehn hast..

den zähler kapier ich, den nenner ehrlich gesagt nicht !

27.10.2010, 22:50

Equester

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Einzigallein den Zähler solltest du nicht verstehen!

Nun ich zeige es anhand eines einfacheren Beispiels Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast die Zahl 5.

Aus irgendeinem Grund willst du, dass die Zahl 5 einen Bruch mit dem Nenner 3 bildet.
Das geht nur so.

$\begin{eqnarray*} \frac{5*3}{3} \end{eqnarray*}$

Wie du dich leicht überzeugen kannst ist es immer noch das Gleiche -> 5.

Genaus so ist es bei uns...nur $\begin{eqnarray*} 5=\sqrt{x+6} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3=2\sqrt{x+6} \end{eqnarray*}$

So verstanden? Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2010, 22:57

abiturient_61

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vonwegen physiker, ihr macht doch mehr mathe als die mathematiker !! Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

spaß bei seite, genial erklärt, habs verstanden !

puh muss langsam fertig werden muss noch ins bett, aber egal.. ich häng mich in zeug..

das hatten wir bisher noch nie gemacht, deshalb hab ichs auch noch nie realisiert ^^

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\sqrt{x+6}*2\sqrt{x+6}}{2\sqrt{x+6}}+\frac{x}{2\sqrt{x+6}} \end{eqnarray*}$

so, jetzt hab ich das verstanden..

wie gehts weiter ? kannste pls alles auf einmal hinschreiben, weil ich nimmer soviel zeit hab.. und ich kann das dan bestimmt nachvollziehen ^^

27.10.2010, 23:01

Equester

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Danke fürs Lob Big Laugh

Big Laugh

Ok Ich betrachte mal kurz NUR den Zähler: \sqrt(x+6)*\sqrt(x+6)*2+x
-> (x+6)*2+x -> 2x+12+x=3x+12=3(x+4)

(Die beiden Wurzeln ergeben einfach den "Inhalt" (Diskriminante) der Wurzel Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Ok, damit wären wir fertig:

Nun f'(x)=0 setzen.
Dabei kannst du den Nenner nun vernachlässigen -> wenn du mit dem multiplizierst,
steht links immer noch 0 dran.

Also mit anderen Worten f'(x)=0=3x+12=3(x+4)

27.10.2010, 23:05

abiturient_61

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eins frag ich mich, da waren doch 2 wurzel(x+6) terme, und wenn die multipliziert werden, muss da doch ein quadrat stehen?

27.10.2010, 23:09

Equester

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Yep, des sollte meine Klammer zum Ausdruck bringen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+6)}*\sqrt{(x+6)}=(\sqrt{(x+6)})²=(x+6) \end{eqnarray*}$

Probiers mal hiermit:
Ist wieder etwas einfacher Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sqrt2*\sqrt2=(\sqrt2)²=2 \end{eqnarray*}$

So klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2010, 23:12

abiturient_61

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so jetzt aber ^^

wurzel zum quadrat --> auflösen von beiden, übrig bleibt nur das innere.. alles klar.

vielen dank !weiß gar nicht, wie ich dir danken kann !

ich verzieh mich dann mal und schreib noch kurz 3. alles auf... und dann muss ich noch ne doofe skizze machen Big Laugh

Big Laugh

egal, hab meinen taschenrechner mit wertetabellen *grins*

27.10.2010, 23:14

Equester

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Gern geschehen^^
Ich denk wir haben faaaast alles. Bis auf die Extremstellen. Die sind aber schnell gemacht^^
Erst recht mit GTR!

Vergiss Def.bereich nicht! $\begin{eqnarray*} x\geq-6 \end{eqnarray*}$
und die Nullstellen Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2010, 23:17

abiturient_61

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hab ich mir schon vorhin notiert Big Laugh

Big Laugh

alles klar, ich müsste alles haben... ist ne nette lehrerin, da kann man auch natürlich nachfragen und kriegt es erklärt..

eventuell werd ich hier morgen noch ne frage zur kettenregel stellen ^^ hoffe du zeigst dich, falls du die zeit dazu hast ^^

gruß

thx nochmal

27.10.2010, 23:19

Equester

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Ich bin eigentlich immer da :P
Bis denne

Wink

Wink

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