sin(3x) und cos(3x) per eulerscher Formel auf elementares sin(x)/cos(x) führen

27.10.2010, 18:25	Gara	Auf diesen Beitrag antworten »
sin(3x) und cos(3x) per eulerscher Formel auf elementares sin(x)/cos(x) führen Meine Frage: Die Aufgabe lautet sin(3x) über Darstellung mit der eulerschen Formel in eine Form zu bringen, die nur noch a+bsin(x) in beliebiger Anzahl enthält. Hab bisher auch nur Lösungen in Form von Formelsammlungen gefunden, keine Herleitungen. für cos(nx) gehen wohl noch die Tschebyschev-polynome, aber a) hab ich davon keine Ahnung, b) sieht das nicht ansatzweise nach eulerformel aus. Danke im Voraus für eure Hilfe Meine Ideen:* Mein Ansatz war $\begin{eqnarray} cos(3x) = Re\left(e^{i 3x}\right) \end{eqnarray}$ , der aber nirgendwohin zu führen scheint, zumindest seh ich keine weitere Vereinfachungsmöglichkeit an der Stelle.
27.10.2010, 18:54	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
de Moivre und Euler: cos(nx)+isin(nx)=(cos(x)+isin(x))^n Mit dem kommst du weiter Als Einstieg: cos(3x)=Re[cos(3x)+isin(3x)]=... Nun nutze de Moivre/Euler Edit: Sry, hatte wohl nur den Ansatz gelesen xD Den Sinus kannst du natürlich genauso umformen -> da gibts dann ein sin³ Das ist auch nicht genehmigt?
27.10.2010, 19:44	Gara	Auf diesen Beitrag antworten »
argh, irgendwas scheine ich zu übersehen, vielen Dank erstmal für die schnelle Hilfe, ich hab folgendes getan: $\begin{eqnarray} cos(3x)=Re\left(cos(3x)+i sin(3x) \right) = Re\left((cos(x)+i sin(x))^3\right) \end{eqnarray}$ Danach hab ich erst versucht, die binomische Formel draufzuschmeißen und dann aus Zweifel nochmal ausmultipliziert, und dann daraus den Realteil gezogen. Mit beiden Wegen komme ich auf eine andere Lösung O_o $\begin{eqnarray} Soll: cos(3x)=4 cos^3(x)-3cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Ist: cos(3x)=cos^3(x)-3 sin^2(x)cos(x) \end{eqnarray}$ Bin ich zu dämlich zum ausmultiplizieren oder liegt der Fehler woanders? Chebychevpolynome sind nicht zugelassen EDIT: Ich glaub es geht einfacher wenn ich aus e^ix^3 einfach e^ixe^ixe^ix mache... EDIT2: Ändert wohl doch nix >.<, endet alles im ausmultiplizieren EDIT3: Dann weiß ich aber nicht wo der Fehler liegt, so wie ich das sehe ist in der binomischen Formel $\begin{eqnarray} (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom n k a^{n-k} \cdot b^k \end{eqnarray}$ das cos(x) = a. Nun kommt aber im nach dem Binomialkoeffizienten für n=3 a^3 genau 1 mal vor. Woher sollen die anderen 3 a^3 kommen o_O
27.10.2010, 20:35	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche binomische Formel? Wir sind bei der dritten Potenz cos(3x)=Re[cos(3x)+isin(3x)]=Re[cos²(x)+isin(x)cos(x)-sin²(x)(cos(x)+isin(x))] =Re[cos³(x)+isin(x)cos²(x)-cos(x)sin²(x)+cos²(x)isin(x)-2sin²(x)cos(x)-isin³(x)] (Realteil auflösen) cos³(x)-cos(1-cos²(x)-2(1-cos²(x))cos(x)=cos³(x)-3cos(x)(1-cos²(x)) =cos³(x)-3cos(x)+3cos²(x)=4cos³(x)-3cos(x) Habs dir mal durchgerechnet...schreibs dir ganz hin^^ Hatte mich selbst ein paar mal verrechnet, hab aber das "Soll". Hoffe du kannsts nachvollziehen^^
27.10.2010, 20:53	Gara	Auf diesen Beitrag antworten »
waaah, $\begin{eqnarray} sin^2=1-cos^2 \end{eqnarray}$ . Wie mir das einfach nicht einfalle wollte... Wenigstens weiß ich jetzt dass ich doch nicht zu dumm zum ausmultiplizieren bin >.< Danke für die Hilfe
27.10.2010, 20:56	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
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