Grenzwert mit 2 unterschiedlichen Konstanten

27.10.2010, 21:15	Rumpfi	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mit 2 unterschiedlichen Konstanten Hab ein kleines Problem mit einem Grenzwert und hab dazu 2 unterschiedliche Konstante: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{(\ln n)^a}{n^b} = 0 \end{eqnarray}$ mit 2 Konstanten $\begin{eqnarray} a,b > 0 \end{eqnarray}$ Gemäß Definition gilt folgendes bei der Grenzwertsuche: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{f(n)}{g(n)} = \lim_{n \to \infty } \frac{f'(n)}{g'(n)} = \lim_{n \to \infty } \frac{f''(n)}{g''(n)} = ... \end{eqnarray}$ und zwar so lange, bis die Zahl gegen 0 konvergiert. Das hab ich gemacht und bin nach 2 Schritten auf folgendes gestoßen: 1. Schritt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{(\ln n)^a}{n^b} = \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{a\cdot (\ln n)^{a-1}}{n} }{b\cdot n^{b-1}} = \lim_{n \to \infty }\frac{a\cdot (\ln n)^{a-1}}{b\cdot n^b} \end{eqnarray}$ 2. Schritt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }\frac{a\cdot (\ln n)^{a-1}}{b\cdot n^b} = \lim_{n \to \infty }\frac{a\cdot (a-1)\cdot (\ln n)^{a-2}}{b^2\cdot n^b} \end{eqnarray}$ und das geht immer weiter. Die konstante exponente b bei g(n) verändert sich nie und die konstante exponente a verringert sich bei jedem Rechenschritt um 1, genauso wie im Multiplikator auch. Reicht das schon als Beweis, dass der Grenzwert gleich 0 ist? mfg Rumpfi

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