Injektive, nicht surjektive Abbildung von R-->R |
| 27.10.2010, 21:43 | isa89 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
| Injektive, nicht surjektive Abbildung von R-->R hallo, ich muss eine injektive aber nicht surjektive abbildung von R nach R finden... Meine Ideen: ..das heißt doch eigentlich, dass diese mindestens ein element aus b haben muss, dass mit keinem element aus a verbunden ist oder? dann wäre die injektivität erfüllt, dass zu jedem b?B höchstens ein a?A existieren darf, gleichzeitig die surjektivität verneint, da nicht zu jedem b?B ein a?A existiert. ist das soweit richtig? und welch funktion kommt dafür in frage? bei mir hakts da irgendwo... |
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| 27.10.2010, 21:55 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
RE: Injektive, nicht surjektive Abbildung von R-->R
Ja, die Überlegung ist im Prinzip richtig, wenn auch etwas schwammig formuliert.
Das folgt nicht dadraus, sondern ist eine zusätzliche Bedingung, aber das mit der Verneinung der Surjektivität folgt dadraus. Ich stell es mir so vor: Bei einer surjektiven Funktion hat jede horizontale Linie () mindestens einen Schnittpunkt mit dem Graphen (gedanklich lass ich eine horizontale Linie von oben nach unten durchlaufen und sie hat dabei immer mindestens einen Schnittpunkt). Das soll jetzt nicht erfüllt sein, d.h. der Wertebereich darf nicht ganz sein. Und da solltest du bestimmt eine Funktion kennen. |
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| 27.10.2010, 22:01 | isa89 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
| RE: Injektive, nicht surjektive Abbildung von R-->R aber müsste es nicht eine linie sein, die waagerecht durch das bild läuft und dabei den graphen an jeder stelle mind einmal schneidet? |
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| 27.10.2010, 22:04 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Meinst du eine vertikale Linie, die waagerecht durch das Koordinatensystem läuft? |
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| 27.10.2010, 22:07 | isa89 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
ja, weil surjektiv doch (wie ich dachte) bedeutet, dass es quasi zu jedem y mindestens ein x geben muss...das heißt doch, dass es viele linien geben muss, die von links nach rechts durch das koordinatensystem laufen und jede muss den graphen mindestens einmal schneiden? oder hab ich da was grundsätzliches falsch verstanden? |
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| 27.10.2010, 22:19 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Das ist bei jeder Funktion so, wenn eine vertikale Linie die Definitionsmenge durchläuft, gibt es da jedes Mal genau einen Schnittpunkt. (So ist nämlich eine Funktion definiert. Jedem x wird genau ein y zugeordnet.) Surjektivität bedeutet, dass jedes Element aus der Zielmenge angenommen wird, d.h. jedes y wird getroffen und deswegen eben eine horizontale Linie. |
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| 27.10.2010, 22:22 | isa89 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
also, horizontal und waagerecht, das ist doch das gleiche!? wennn das also gerade NICHT sein darf, muss ich ja nur eine fkt finden, bei der es ein y gibt, dem kein x zugeordnet wird? also zum beispiel eine exponentialfkt? ich bin mir aber nicht sicher ob diese dann injektiv ist, da sie doch auf der linken seite gegen 0 konvergiert. |
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| 27.10.2010, 22:36 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Ja. Ich meine eine horizontale Linie mit vertikaler Bewegung. (also rauf und runter)
Bei einer Funktion wird jedem x ein y zugeordnet, nicht unbedingt umgekehrt. Besser ist die Formulierung: Ein y, welches kein Urbild hat. Diese Eigenschaft allein reicht aber nicht aus, da die Funktion ja zusätzlich injektiv sein muss.
Injektiv bedeutet, dass jedes y höchstens einmal getroffen wird. Die Null wird nicht angenommen, eine Exponentialfunktion kommt nur beliebig nah an die Null. |
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| 27.10.2010, 22:41 | isa89 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
also ist das die lösung der aufgabe. für zb f(x)=-4 existiert kein urbild dh die fkt ist nicht surjektiv, es wird aber jedem x höchstens ein y zugeordnet, dh sie ist injektiv. wenn das nicht stimmt, geb ich für heute zumindest auf^^ |
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| 27.10.2010, 22:44 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Ja, wenn du z.B. nimmst.
Nein, falsche Formulierung. Allgemein ist eine Funktion so definiert, dass jedem x aus dem Definitionsbereich genau ein y zugeordnet wird. Das ist das Wesen einer Funktion. Injektivität bedeutet, dass jedes y (also jedes Element der Zielmenge) höchstens einmal getroffen wird, d.h. höchstens ein Urbild hat. |
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| 27.10.2010, 22:52 | isa89 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
ja, das meinte ich damit...abgesehen von der etwas unkorrekten formulierung stimmt es dann aber? vielen dank auf jeden fall, dass meinem unwissen zumindest etwas auf die sprünge geholfen wurde! |
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| 27.10.2010, 22:54 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||||
Japp, nichts zu danken 
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