Betragsungleichung (2Beträge)

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27.10.2010, 21:48	Frank750	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsungleichung (2Beträge) bin mir nicht sicher ob jeder schritt auf meinem weg zur lösung richtig ist. $\begin{eqnarray} \|x+2\|\leq\|2x-1\| \end{eqnarray}$ Fallunterscheidung (4 Fälle) 1. Fall $\begin{eqnarray} x+2>0\Rightarrow x>-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x-1>0\Rightarrow x>\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ daraus folgt $\begin{eqnarray} x>-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+2\leq2x-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq 3 \end{eqnarray}$ draus folgt $\begin{eqnarray} x\geq 3 \end{eqnarray}$ ist eine Lösung 2.Fall $\begin{eqnarray} x+2>0 \Rightarrow x>-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x-1<0\Rightarrow x<\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ draus folgt $\begin{eqnarray} -2\leq x \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+2\leq-(2x-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+2\leq-2x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\leq \frac{-1}{3} \end{eqnarray}$ daraus folgt $\begin{eqnarray} x\leq \frac{-1}{3} \end{eqnarray}$ ist eine Scheinlösung 3. Fall $\begin{eqnarray} x+2<0\Rightarrow x<-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x-1>0\Rightarrow x>\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ draus folgt Scheinlösung 4. Fall $\begin{eqnarray} x+2<0\Rightarrow x<-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x-1<0\Rightarrow x<\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ daraus folgt $\begin{eqnarray} x<\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(x+2)\leq-(2x-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x-2\leq-2x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\leq 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\leq 3 \end{eqnarray}$ ebenfalls eine Scheinlösung Endergebnis $\begin{eqnarray} L= [3,\infty ) \end{eqnarray}$
27.10.2010, 22:21	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast überall richtig gerechnet. Doch hast du die Ergebnisse teilweise falsch interpretiert. 1. Fall -> ist korrekt 2. Fall -> Warum hast du hier eine Scheinlösung? Es gilt doch $\begin{eqnarray} -2\leq x \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Dein Ergebnis der Rechnung ist aber: $\begin{eqnarray} x\leq \frac{-1}{3} \end{eqnarray}$ Was ist also Lösung? 3. Fall -> ist korrekt 4. Fall x<-2 und x<0,5 ....was folgt daraus? Dein Ergebnis besagt x<3...was folgt mit vorheriger Zeile daraus? Deine Gesamtlösung muss also ergänzt werden
28.10.2010, 18:20	Frank750	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt der zweite Fall ergibt auch eine Lösung. Im vierten Fall kann ich den Fehler nicht erkennen. Es gelten doch alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ kleiner $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . In $\begin{eqnarray} x<3 \end{eqnarray}$ ist doch auch alles von $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ bist $\begin{eqnarray} <3 \end{eqnarray}$ enthalten. Also auch die $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ als Bsp. welche größer ist als $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Oder ist meine Denkweise falsch?
28.10.2010, 18:23	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beispiel ist korrekt. Die zwei gilt nicht, denn sie ist größer als 0,5. Doch wie sieht es mit -5 aus? oder mit -15000? Beide Werte sind kleiner als 3 und auch kleiner als 0,5
28.10.2010, 18:39	Frank750	Auf diesen Beitrag antworten »
Dachte es muss mit allen Zahlen die kleiner drei sind funktionieren. Was auch der Grund für die falsche Interpretation des zweiten Falls ist. Dann müsste $\begin{eqnarray} L= [3,\infty ) \wedge (-\infty, \frac{-1}{3}] \wedge (-\infty,3] \end{eqnarray}$ die Lösung sein`?
28.10.2010, 18:41	Frank750	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine natürlich 0,5 als oberes Ende des letzten Intervalls.
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28.10.2010, 18:44	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ersteres ist korrekt. Zweiteres ist so nicht richtig. Heißt es in Fall 2 nicht x>-2 aber x<-1/3? Und der vierte Fall war noch nicht ganz angeschaut Es gilt nicht nur x<3 und x<0,5 sondern auch x<-2! Schau dir die beiden Fälle nochmals an^^ Alle drei Werte! Beide Einschränkungen zu Beginn. Und dann die "Lösung". Bilde dann die gemeinsame Lösungsmenge.
28.10.2010, 19:15	Frank750	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch mit der Gefahr das es langsam peinlich wird... $\begin{eqnarray} L=[3,\infty) \wedge (-2,\frac{1}{2})\wedge (-2,\frac{1}{2}),(\frac{1}{2},3] \end{eqnarray}$
28.10.2010, 19:21	Frank750	Auf diesen Beitrag antworten »
vierter Fall $\begin{eqnarray} (-\infty,-2) (-2\frac{1}{2}),(\frac{1}{2},3] \end{eqnarray}$
28.10.2010, 19:24	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Peinlich wird nix?! Aber falsch ists dennoch^^ Wir machen jetzt nochmals ganz langsam den 4. Fall ok 4. Fall $\begin{eqnarray} x+2<0\Rightarrow x<-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x-1<0\Rightarrow x<\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ daraus folgt $\begin{eqnarray} x<\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(x+2)\leq-(2x-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x-2\leq-2x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\leq 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\leq 3 \end{eqnarray}$ So...was gilt?
28.10.2010, 19:27	Frank750	Auf diesen Beitrag antworten »
x muss kleiner -2 und kleiner 0,5 sein
28.10.2010, 19:28	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das lässt sich genauer sagen! x<0,5 ist eine unnötige Aussage, denn es muss ohnehin x<-2 gelten. Passt das dann so, oder weitere Einschränkungen?
28.10.2010, 19:36	Frank750	Auf diesen Beitrag antworten »
steh gerade völlig auf dem Schlauch.
28.10.2010, 19:40	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich mal deinen Fuß heben?^^ Wenn du hast x<3, x<0,5 und x<-2 Wie kann man das zusammenfassen?
28.10.2010, 19:42	Frank750	Auf diesen Beitrag antworten »
x<-2?
28.10.2010, 19:47	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Yep genau! So, jetzt fasse den zweiten Teil nochmals zusammen. Hier ist ein klein wenig anders. Mal sehen ob dus hinbekommst
28.10.2010, 19:56	Frank750	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -2<x\leq -\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ ?
28.10.2010, 19:58	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Und jetzt alle 3 Lösungen zusammen (Auch Fall 1)
28.10.2010, 20:02	Frank750	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} L= [3,\infty )\vee (-2,\frac{-1}{3} ] \vee(-\infty , -2) \end{eqnarray}$
28.10.2010, 20:04	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Yep, das ist richtig. Wenn dus jetzt noch in die richtige Reihenfolge bringst? Und du kannst es zusammenfassen, sodass nur noch 2 Intervalle dastehen
28.10.2010, 20:16	Frank750	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst mal danke für die Hilfe, Mühe und Geduld... Ja Reihenfolge ist kein Prob. Zusammenfassen? du meinst die letzten zwei Intervalle? $\begin{eqnarray} (-\infty, \frac{-1}{3} ] \end{eqnarray}$ dann wäre doch aber die -2 mit eingeschlossen? es muss doch einmal größer -2 und einmal kleiner -2 sein, aber nicht gleich -2
28.10.2010, 20:19	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Normal macht man die Unterscheidung so: $\begin{eqnarray} x+2\geq 0 -> x\geq -2 \end{eqnarray}$ Das solltest du noch ausbessern, dann ist auch die -2 dabei. (Das $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ gilt überall!!) Yep dann passt Und gerne

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