Erzeugendensystem

27.10.2010, 21:58

Taladan

Erzeugendensystem

Hallo,

ich habe leider nicht wirklich verstanden was ein Erzeugendensystem ist.

So soll ich für eine Matrix drei Matizen aufschreiben die für eine andere Matrix ein erzeugendensystem ist. Aber überall wo ich schaue, wird mit Vektoreen also 1xX Matrizen gearbeitet und nicht mit nxm Matrizen und in einer anderen Frage für eine Reihe von Polynome einen Beweiß für ein Erzeugendensystem zu bringen. Ich stehe echt auf dem schlauch. Kann mir da jemand weiter helfen Gott

27.10.2010, 22:03

wisili

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RE: Erzeugendensystem
Matrizen sind doch auch «Vektoren», d.h. Elemente eines Vektorraumes.
Vermutlich musst du nicht für eine einzelne Matrix, sondern für einen Matrix-Raum ein Erzeugendensystem suchen. Wie lautet denn die Aufgabe?

27.10.2010, 22:04

lgrizu

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RE: Erzeugendensystem
ein erzeugendensystem ist eine menge, die einen vektorraum erzeugt.

betrachten wir mal den vektorraum der 2X2 matrizen über dem körper K, die matrizen

$\begin{eqnarray*} A_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},A_2= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , A_3= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , A_4= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bilden ein erzeugendensystem dieses vektorraums, sogar eine basis.

denn jede matrix $\begin{eqnarray*} B \in M_{2,2} \end{eqnarray*}$ kann folgendermaßen dargestellt werden:

$\begin{eqnarray*} B= \mu _1 A_1+ \mu _2 A_2+ \mu _3 A_3 + \mu _4 A_4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mu \in K \end{eqnarray*}$

27.10.2010, 22:06

Taladan

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RE: Erzeugendensystem
Ok, und was wird mit damti gemeint ,das es einen Vektorraum erzeugt?

27.10.2010, 22:11

lgrizu

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RE: Erzeugendensystem
wenn sich jeder vektor des vektorraums, oder besser erst mal jedes element des vektorraums durch eine linearkombination der elemente des erzeugendensystems darstellen lässt.

27.10.2010, 22:27

Taladan

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RE: Erzeugendensystem
Ok ich glaub jetzt habe ich es verstanden.

27.10.2010, 22:35

lgrizu

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RE: Erzeugendensystem
kannst dich ja noch mal hierzu äußern, dann kann da noch einer drüberschauen wenn du das ohne hilfe lösen kannst....

Zitat:

Original von wisili
Wie lautet denn die Aufgabe?

28.10.2010, 16:47

Taladan

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RE: Erzeugendensystem
Ok.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} M = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{pmatrix} | a, b, c \in \mathbb{R} \right\} \subseteq M_{33}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie drei Matrizen in M, die ein Erzeugendensystem von M bilden und beweisen Sie dies.

Sei gegeben $\begin{eqnarray*} m_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ -a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} m_2 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \\ -b & 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_3 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c \\ 0 & -c & 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ in M und $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

So gilt $\begin{eqnarray*} m_1 + m_2 + m_3 = M \end{eqnarray*}$

28.10.2010, 20:45

wisili

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RE: Erzeugendensystem
m1, m2 und m3 (die geschweiften Klammern sind überflüssig} sind aber so noch nicht konkret: Die Variablen a, b und c müssen durch eine Zahl, z.B. je 1 ersetzt werden. Dann ist M = { a m1 + b m2 + c m3 | a, b, c reell} ein 3-dimensionaler Vektorraum mit Basis {m1, m2, m3}.

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