Abschätzung durch Majoranten/Minorantenkriterium

28.10.2010, 12:07	seppel	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung durch Majoranten/Minorantenkriterium Meine Frage: Hi Leute, ich hab irgendwie ein kleines Verständnisproblem was das Majoranten und Minorantenkriterium angeht. In meinen Mathebücher versteh ich das zwar und da sieht es ja nicht mal schwer aus, aber wenn ich das selber machen möchte bei meinen Hausübungen kriege ich das einfach auf biegen und brechen nicht hin... Meine Ideen: z.B. $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{3n^3+4}{n^5+1} \end{eqnarray}$ Hier soll mit Hilfe des Majorantenkriteriums Konvergenz nachgewiesen werden. ich denke mir dabei, dass ich das irgendwie auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ runterbrechen muss bzw. beweisen soll, dass $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{3n^3+4}{n^5+1} \end{eqnarray}$ kleiner $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ ist. Aber wie? Mein Versuch sieht ungefähr so aus, glaube aber nicht, dass man das so wirklich machen darf: $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{3n^3+4}{n^5+1} \leq \frac{3n^3}{n^5} = \frac{3}{n^3} \leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$
28.10.2010, 12:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Versuch $\begin{eqnarray} a_n \leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ nachzuweisen, ist zum Scheitern verurteilt. Aber du kannst ein c finden, sodass $\begin{eqnarray} a_n \leq \frac{c}{n^2} \end{eqnarray}$ . Das reicht ja auch schon.
28.10.2010, 12:25	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschätzung durch Majoranten/Minorantenkriterium Abgesehen davon ist $\begin{eqnarray} \frac{3n^3+4}{n^5+1} \leq \frac{3n^3}{n^5} \end{eqnarray}$ falsch, wie man für n=1 leicht sieht und es ist auch nicht $\begin{eqnarray} \frac{3n^3}{n^5} = \frac{3}{n^3} \end{eqnarray}$ .
28.10.2010, 12:46	seppel	Auf diesen Beitrag antworten »
und wenn ich das so mache? $\begin{eqnarray} 0\leq \frac{3n^3+4}{n^5+1} \leq \frac{3n^3+4}{n^5} = \frac{3n^3}{n^5} +\frac{4}{n^5} = \frac{3}{n^3} +\frac{4}{n^5} \leq \frac{3}{n^2} +\frac{4}{n^2} =\frac{7}{n^2} \end{eqnarray}$
28.10.2010, 12:55	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt eigentlich. Aber es ist immer noch $\begin{eqnarray} \frac{3n^3}{n^5} = \frac{3}{n^2} \end{eqnarray}$ und NICHT $\begin{eqnarray} n^3 \end{eqnarray}$ im Nenner.
28.10.2010, 13:30	seppel	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist ja super, ich hab schon den Eindruck gekriegt, dass ich völlig verblödet bin. Aber vorsichtshalber sollt ihr noch mal lieber über diese Aufgabe gucken. Hier geht´s um das Minorantenkriterium: $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{n+n^2}{n^3+2} \geq \frac{n+n^2}{n^3+2n^3} = \frac{n+n^2}{3n^3} = \frac{1}{3} \frac{n+n^2}{n^3} = \frac{1}{3}\frac{1+n}{n^2} = \frac{1}{3} ( \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n} ) \end{eqnarray}$ vielen liebe dank!!!
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28.10.2010, 13:45	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abschätzung nach unten ist zwar formal richtig, was man aber damit anfangen soll, ist mir nicht klar.
28.10.2010, 13:54	seppel	Auf diesen Beitrag antworten »
damit soll man gar nichts anfangen, wir sollen das nur abschätzen... aber vielen dank noch mal!
28.10.2010, 14:15	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
Geschickter wäre es hier vielleicht aus: $\begin{eqnarray} \underbrace{n^3+2n^2+n}_{=(n+1)(n^2+n)}>n^3+2 \end{eqnarray}$ direkt zu folgern, dass: $\begin{eqnarray} \frac{n^2+n}{n^3+2}>\frac 1{n+1}. \end{eqnarray}$

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