Abstand im euklidischen R^n

12.11.2006, 18:40

hmer

Abstand im euklidischen R^n

Hallo,

ich soll eine explizite darstellung des abstandes im euklidischen R^n von einem beliebigen punkt aus R^n zur abgeschlossenen kugel Kr(a) angeben. mit begründung natürlich.

ich würde sagen, dass es einfach
$\begin{eqnarray*} dist(x,K_r(a)) =\sqrt{ \sum_{k=1}^n~(x_k-a_k)^2} - r \end{eqnarray*}$

das ist der abstand zum mittelpunkt von der kugel. wenn ich dann noch r abziehe, dann bin ich genau auf dem punkt der kugel, der orthogonal zu dem punkt x ist ... also da ist der abstand am kürzesten...

kann man die begründung so stehen lassen? ich weiß nicht direkt, was man bei der aufgabe konkret erwartet!

gruß hmer

12.11.2006, 19:03

Mathespezialschüler

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Die Formel ist korrekt.

Zitat:

Original von hmer
das ist der abstand zum mittelpunkt von der kugel. wenn ich dann noch r abziehe, dann bin ich genau auf dem punkt der kugel, der orthogonal zu dem punkt x ist ... also da ist der abstand am kürzesten...

Das "orthogonal" ist da falsch! Zwei Punkte können nicht orthogonal zueinander sein ...
Und wenn du Zahlen addierst, dann kommst du auch nicht auf einen Punkt. Ich glaube, du sollst das Ganze etwas mathematischer begründen. Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ kannst du nicht mehr anschaulich argumentieren, also musst du über die Definitionen gehen. Ich nehme an, $\begin{eqnarray*} \operatorname{dist}(x,K_r(a)) \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} x=(x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{dist}(x,K_r(a))=\min_{t\in K_r(a)}\|x-t\|_2 \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \|x-t\|_2 \end{eqnarray*}$ der Abstand der beiden Punkte $\begin{eqnarray*} x,t\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist, also $\begin{eqnarray*} \|x-t\|_2=\sqrt{\sum_{k=1}^n~(x_k-a_k)^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t=(t_1,\ldots,t_n) \end{eqnarray*}$ . Wenn du jetzt behauptest, dass für den Abstand gilt:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{dist}(x,K_r(a))=\sqrt{\sum_{k=1}^n~(x_k-t_k)^2}-r=\|x-a\|_2-r \end{eqnarray*}$ ,

dann musst du noch folgende Dinge zeigen:

$\begin{eqnarray*} (1)\qquad \forall\ t\in K_r(a)\ :\ \|x-t\|_2\geq \operatorname{dist}(x,K_r(a))=\|x-a\|_2-r \\ (2)\qquad \exists\ t\in K_r(a)\ :\ \|x-t\|_2= \operatorname{dist}(x,K_r(a))=\|x-a\|_2-r \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

13.11.2006, 16:30

hmer

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Hallo.

Ich würde das mit der Dreiecksungleichung zeigen:

$\begin{eqnarray*} \forall y \in K_r(a): \| y-a \|_2 \leq r \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \| x - y +y - a \|_2 \leq \| x - y \|_2 + \| y - a \|_2 \leq \| x - y \|_2 + r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\forall y \in K_r(a): \| x - a \|_2 - r \leq \| x - y \|_2 \end{eqnarray*}$

Die Existenz dieses t's (oder y - wie ich es genannt habe) muss ich doch eigentlich nicht zeigen, da die existenz zum einen aus der abgeschlossenheit meiner kugel und der obigen ungleichung hervorgeht -- oder`?

13.11.2006, 16:52

Mathespezialschüler

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Das mit der Dreiecksungleichung ist korrekt! Freude

Zitat:

Original von hmer
Die Existenz dieses t's (oder y - wie ich es genannt habe) muss ich doch eigentlich nicht zeigen, da die existenz zum einen aus der abgeschlossenheit meiner kugel und der obigen ungleichung hervorgeht -- oder`?

Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} n=2, r=1,a=(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=(3,0) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} K_r(a) \end{eqnarray*}$ die Fläche (einschließlich Peripherie) des Einheitskreises um den Nullpunkt. Ich behaupte jetzt:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{dist}(x,K_r(a))=1 \end{eqnarray*}$ .

Nach deiner Argumentation reicht es, dass ich zeige, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} (1)\qquad \forall\ t\in K_1(0,0)\ :\ \|x-t\|_2\geq \operatorname{dist}(x,K_r(a))=1 \end{eqnarray*}$ .

Das ist hier natürlich auf jeden Fall erfüllt (Skizze! Oder übertrage einbfach deinen Beweis). Aber trotzdem ist der Abstand von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zur Kugel nicht $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ! Siehst du, dass dein Argument so nicht funktioniert?

Gruß MSS

13.11.2006, 21:58

hmer

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hmm..ok, das seh ich!

aber wie kann ich da sonst anssetzen, also die existenz eben dieses y's beweisen?

kannst ud mir einen tipp geben?

13.11.2006, 22:16

Mathespezialschüler

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Sei $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ der Ortsvektor des Mittelpunktes $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ der Ortsvektor des Punktes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Wie du dir vielleicht anschaulich vorstellen kannst (z.B. im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ), ist der gesuchte Punkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit den Koordinaten $\begin{eqnarray*} (t_1,\ldots,t_n) \end{eqnarray*}$ der Schnittpunkt der Geraden durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit der Kugeloberfläche von $\begin{eqnarray*} K_r(a) \end{eqnarray*}$ . Das heißt, es gibt ein $\begin{eqnarray*} s\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec t=\vec a+s(\vec x-\vec a) \end{eqnarray*}$ .

Da außerdem $\begin{eqnarray*} \|\vec t-\vec a\|=\|t-a\|=r \end{eqnarray*}$ gelten muss ( $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ liegt ja auf der Kugel), folgt:

$\begin{eqnarray*} r=\|\vec t-\vec a\|=\|s(\vec x-\vec a)\|=s\|\vec x-\vec a\|=s\|x-a\| \end{eqnarray*}$ .

Also folgt $\begin{eqnarray*} s=\frac{r}{\|x-a\|} \end{eqnarray*}$ .

Das kannst du nun in

$\begin{eqnarray*} \vec t=\vec a+s(\vec x-\vec a) \end{eqnarray*}$

einsetzen und dann musst du für dieses $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ eben die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \|x-t\|_2=\|x-a\|_2-r \end{eqnarray*}$

zeigen.

Gruß MSS

15.11.2006, 12:42

hmer

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ok... das versteh ich. ich hab mir das mit einem kreis in R^2 aufgemahlt.

Aber welche Normeigenschaften kommen da zum tragen. Ich muss doch da irgendwas ausklammern oder vereinfachen.

Ich probier das jetzt schon ne weile, komme aber nicht auf das ergebnis.

$\begin{eqnarray*} \|x - a + (r(x-a))/(\|x-a\|) \| = \| (x-a)* (1 + r/\|x-a\|) \| \end{eqnarray*}$

kann ich da irgendwas ausklammern oder so? bei normen ist doch nur das produkt mit einem skalar erklärt... oder?

gruß hmer

15.11.2006, 17:17

Mathespezialschüler

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Ok, du hast

$\begin{eqnarray*} \|x-t\|_2=\left\|\left(1+\frac{r}{\|x-a\|_2}\right)(x-a)\right\|_2 \end{eqnarray*}$ .

Was ist denn $\begin{eqnarray*} c=1+\frac{r}{\|x-a\|_2} \end{eqnarray*}$ ? Ist das ein Vektor, ein Skalar oder was ganz anderes?

Gruß MSS

15.11.2006, 18:26

hmer

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hmm...das sieht nach einem skalar aus, weil im nenner das ding ja eine norm ist...ah...gut, die kürzen sich dann weg!!! blind kann man sein

gruß hmer

15.11.2006, 18:30

Mathespezialschüler

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Genau, ist ein Skalar. Wie gehts jetzt weiter?

Gruß MSS

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