Erwartungswert und Varianz einer zusammengesetzten Verteilung

28.10.2010, 15:03

Halbleiter

Erwartungswert und Varianz einer zusammengesetzten Verteilung

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich stehe vor dem folgenden Problem: Berechnung von Erwartungswert und Varianz (und ggf. Schiefe und Wölbung) einer Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ wird diese aus einer Halbnormalverteilung mit Parameter $\begin{eqnarray*} \sigma_+ \end{eqnarray*}$ gezogen (zugehörige Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X^+ \end{eqnarray*}$ ) und mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 1-p \end{eqnarray*}$ aus einer Halbnormalverteilung mit Parameter $\begin{eqnarray*} \sigma_- \end{eqnarray*}$ , wobei in letzterem Fall der negative Wert zur Anwendung kommt (zugehörige Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} -X^- \end{eqnarray*}$ ). Ich meine also im Besonderen keine Mischung im Sinne von $\begin{eqnarray*} X = pX^+ - (1-p)X^- \end{eqnarray*}$ , sondern so etwas wie eine abschnittsweise Definition. Ziel des Ganzen ist eine Verteilung zu generieren, die viele kleine positive und wenige große negative Werte erzeugt - dabei aber einen Erwartungswert von null und eine Varianz von eins aufweist (dies wäre nämlich über die Parameter $\begin{eqnarray*} \sigma_+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma_- \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ zu skalieren).

Vielen Dank für alle Anregungen im Voraus!

Meine Ideen:
Die ersten beiden Anfangsmomente der Halbnormalverteilung sind $\begin{eqnarray*} E(X) = \sigma \sqrt{2/\pi} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(X^2) = \sigma^2 \end{eqnarray*}$ . Ich habe bisher versucht Erwartungswert und Varianz als mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewogenen Mittelwert hinzuschreiben. Das scheint auch aufzugehen, nur bei Schiefe und Wölbung komme ich so auf keinen Fall weiter. Deswegen bin ich mir auch schon nicht sicher, ob ich überhaupt Erwartungswert und Varianz richtig gebildet habe.

28.10.2010, 15:23

René Gruber

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Unter $\begin{eqnarray*} X^+,X^- \end{eqnarray*}$ verstehe ich immer Positiv- und Negativteil, ich formuliere es frecherweise daher mal um: Du interessierst dich für die Verteilung (zumindest Erwartungswert und Varianz) der Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} X = 1_A|X_1| - (1-1_A)|X_2| \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} X_1\sim \mathcal{N}(0,\sigma_1^2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X_2\sim \mathcal{N}(0,\sigma_2^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Ereignis mit $\begin{eqnarray*} P(A)=p \end{eqnarray*}$ ist. Zudem wird vorausgesetzt, dass sowohl $\begin{eqnarray*} A,X_1 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} A,X_2 \end{eqnarray*}$ paarweise unabhängig sind.

(Ich hab's auf die Normalverteilung mit Beträgen zurückgeführt, da ich den Begriff "Halbnormalverteilung" gerade eben erst nachschlagen musste und er mir deshalb noch recht unvertraut ist. Augenzwinkern

)

------------------

Damit kannst du dann ja rechnen:

$\begin{eqnarray*} E(X) = E(1_A)\cdot E|X_1| - E(1-1_A)\cdot E|X_2| = p\cdot E|X_1| - (1-p)\cdot E|X_2| \end{eqnarray*}$

sowie $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X) = E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ über

$\begin{eqnarray*} E(X^2) &=& E(1_A^2X_1^2 - 2\cdot 1_A(1-1_A)|X_1X_2| + (1-1_A)^2X_2^2)\\ &=& E(1_A^2)\cdot E(|X_1|^2) -2\cdot E(1_A(1-1_A))\cdot E|X_1X_2| + E((1-1_A)^2)E(|X_2|^2)\\ &=& p\cdot E(X_1^2) + (1-p)\cdot E(X_2^2) \end{eqnarray*}$ .

Ähnlich dann bei noch höheren Momenten.

28.10.2010, 17:54

Halbleiter

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Hallo René!

Vielen Dank! Mit unterschiedlicher Notation habe ich es genauso gemacht, Nur bin ich mir nicht so sicher, dass das auch geht. Zum einen ist doch $\begin{eqnarray*} E(XY) \neq E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ , unabhängig hin oder her. Und zum anderen warum ist $\begin{eqnarray*} E(1_A) = E(1_A^2) = p \end{eqnarray*}$ (also der Quadratteil ist mir nicht klar)? Weiter ist der Erwartungswert - selbst bei Unkorreliertheit - $\begin{eqnarray*} E|X_1X_2| \neq 0 \end{eqnarray*}$ - siehe dazu meine Ausführungen über das erste Moment der Halbnormalverteilung.

Es muss doch möglich sein, ganz allgemein, Erwartungswert, Varianz etc. einer Verteilung anzugeben, die sich aus zwei Verteilungen entsprechend einer Eintrittswahrscheinlichkeit ergibt. Oder ist das doch so abwegig?

Viele Grüße!

28.10.2010, 19:17

René Gruber

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Zitat:

Original von Halbleiter
Zum einen ist doch $\begin{eqnarray*} E(XY) \neq E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ , unabhängig hin oder her.

I.a. hast du recht - mit letzterem nicht: Sind $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängig, dann gilt tatsächlich $\begin{eqnarray*} E(XY) = E(X)\cdot E(Y) \end{eqnarray*}$ . Und nur in diesen Fällen habe ich das oben angewandt!

Zitat:

Original von Halbleiter
Und zum anderen warum ist $\begin{eqnarray*} E(1_A) = E(1_A^2) = p \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} 0^k=0 \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} 1^k=1 \end{eqnarray*}$ für alle positiven Exponenten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Andere Werte nimmt eine Indikatorfunktion nicht an, also ist $\begin{eqnarray*} 1_A(\omega)^k = 1_A(\omega) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ , und somit natürlich auch $\begin{eqnarray*} E(1_A^k) = E(1_A) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Zitat:

Original von Halbleiter
Weiter ist der Erwartungswert - selbst bei Unkorreliertheit - $\begin{eqnarray*} E|X_1X_2| \neq 0 \end{eqnarray*}$

Richtig, was anderes habe ich auch gar nicht behauptet. Der Mittelteil fällt aus einem anderen Grund weg: Es ist $\begin{eqnarray*} E(1_A(1-1_A))=0 \end{eqnarray*}$ , schlicht aus dem Grund, weil $\begin{eqnarray*} 1_A(\omega)\cdot (1-1_A(\omega)) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ ist.

Denk mal ein bisschen über Indikatorfunktionen nach, oder recherchiere - viele deiner Fragen oben erledigen sich nämlich bei entsprechenden Grundkenntnissen.

P.S.: Tatsächlich gilt aus all den genannten Gründen sogar für die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Potenz

$\begin{eqnarray*} X^k = 1_A|X_1|^k + (-1)^k(1-1_A)|X_2|^k \end{eqnarray*}$

für alle positiven ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

29.10.2010, 09:17

Halbleiter

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Vielen Dank nochmal für die Erklärung! Mit der Indikatorfunktion bin ich nicht so ganz klar gekommen... Aber die Darstellung ist auf jeden Fall besser, alleine schon weil sich dann eine geschlossene Form für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ergibt. Also DANKE!!!

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