Produkt vereinfachen durch Teleskoptrick

28.10.2010, 15:25	Torrac	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt vereinfachen durch Teleskoptrick Hallo. Ich sitze grade an einer Aufgabe mit einem Produkt. Als Tip steht unter der Aufgabe:" Zerlegen Sie jeden faktor in zwei Faktoren ("Teleskop-Trick"). Wir dürfen keine Induktion benutzen! Also habe ich gegoogelt was die Teleskopsumme ist und ein wenig rum probiert. Ich komme einfach nicht auf die Darstellung $\begin{eqnarray} \prod\limits_{k=2}^n (1-\frac{1}{k^2}) = \frac{n+1}{2n} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \prod\limits_{k=2}^n (1-\frac{1}{k^2}) = \prod\limits_{k=2}^n \frac{k^2-1}{k^2} \end{eqnarray}$ also habe ich einfach mal ausprobiert: $\begin{eqnarray} \prod\limits_{k=2}^n \frac{k^2-1}{k^2}=\frac{2^2-1}{2^2} \frac{3^2-1}{3^2} * \frac{4^2-1}{4^2} * ... * \frac{n^2-1}{n^2}=\frac{3}{4}\frac{8}{9}\frac{15}{16}... \end{eqnarray}$ Und wie das bei einer Teleskopreihe ja auch sein soll, kürzen sich die Zwischentherme alle weg und es bleibt übrig: $\begin{eqnarray} 1\frac{n^2-1}{n^2} \end{eqnarray}$ Leider entspricht diese Lösung nicht $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{2n} \end{eqnarray*}$ Wo ist mein Fehler?
28.10.2010, 15:41	Torrac	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab grade rausgefunden, das die Lösung oben natürlich dem Ergebnis entspricht. Ich habe nur das Produktzeichen davor vergessen. Jedoch komm ich immernoch nicht darauf wie ich zeige, dass die beiden Ergebnise gleich sind.
28.10.2010, 16:00	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest erstmal $\begin{eqnarray} \prod\limits_{k=2}^n \frac{k^2-1}{k^2} = \frac{\prod\limits_{k=2}^n (k+1)\cdot \prod\limits_{k=2}^n (k-1)}{\left( \prod\limits_{k=2}^n k \right)^2} \end{eqnarray}$ schreiben, dann passend kürzen oder erstmal als Fakultäten schreiben o.ä. ... je nach Geschmack. Am kürzesten dann doch vielleicht so $\begin{eqnarray} \prod\limits_{k=2}^n \frac{k^2-1}{k^2} = \prod\limits_{k=2}^n \left( \frac{k+1}{k} \cdot \frac{k-1}{k} \right) = \left( \prod\limits_{k=2}^n \frac{k+1}{k} \right) \cdot \left( \prod\limits_{k=2}^n \frac{k-1}{k} \right) \end{eqnarray}$ , als Produkt zweier einfacher Teleskopprodukte.
28.10.2010, 16:11	Torrac	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich. Dann hätte ich die geforderten zwei Faktoren. Aber wie zeige ich dann, dass $\begin{eqnarray} (\prod\limits_{k=2}^n \frac{k+1}{k}) (\prod\limits_{k=2}^n \frac{k-1}{k}) = \frac{n+1}{2n} \end{eqnarray*}$ ist?
28.10.2010, 16:16	Torrac	Auf diesen Beitrag antworten »
lol habs grade rausgefunden. Echt vielen dank für deine Hilfe. Somit wars relativ einfach!Danke

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