Verknüpfungstafel

28.10.2010, 16:09

Schnix91

Verknüpfungstafel

Meine Frage:
So ich steh vor folgender Aufgabe:

Ich hab 6 Abbildungen f1:=x ; f2:= 1/x ; f3 := 1-x ; f4 := 1*(1-x) ;
f5:= (x-1)/x und f6:= x/(x-1)
und G:={f1...f6}

a) ich soll zeigen dass die Komposition ° eine Verknüpfung ° mit GxG->G definiert, indem ich für alle Möglichkeiten (also 36) eine Tabelle anfertige für die Abbildungen fi°fj für i,j ? {1...6} und x -> fi(fj(x)).

b) Anhand der Verknüpfungstabelle soll ich nun ein Einselelement e?G bestimmen und nachweisen, dass das Tripel (G,e,°) eine Gruppe bildet.

Meine Ideen:
zur a) ich habe die Tabelle erstellt, is ja eig ganz simpel oder? einfach f1 bis f6 in eine Spalte und dann f1 bis f6 in eine Zeile und dann jeweils fi mit fj verknüpfen. dann ist doch für jedes fi°fj i=j das "Ergebnis" x? ist damit schon bewiesen dass GxG->G?

b) das Einselelement muss doch f1 sein oder? weil dann f1 als Verknüpfung nichts beweirkt. Nur weiß ich jetzt ned wie ich beweisen soll dass das Tripel (G,e,°) eine Gruppe bildet. Muss ich jetzt des Assoziativgesetz für alle möglichen Variationen beweisen und dann noch dass es für jedes Element ein inverses besteht?

danke im voraus! Augenzwinkern

28.10.2010, 16:16

lgrizu

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RE: Verknüpfungstafel
wenn du eine verknügfungstafel erstellt hast kannst du ablesen, ob das assoziativgesetz gilt, das neutrale element ist f(x)=x, wie du richtig erkannt hast.

hat jede funktion auch ein inverses bezüglich der komposition der funktionen?
...das kannst du auch an der verknüpfungstafel ablesen.

28.10.2010, 17:15

Schnix91

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RE: Verknüpfungstafel
Ok des is schon mal gut :P und danke für die schnelle Antwort, jetzt is nur die frage wie ich das aus der Tabelle ablesen kann...

28.10.2010, 18:08

Schnix91

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RE: Verknüpfungstafel
Wär echt lieb wenn ihr mir den letzten schritt mit dem ablesen noch erklären könntet bitte, komm einfach ned drauf wie man des assoziativgesetz da ablesen kann und des inverse...

28.10.2010, 22:14

lgrizu

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RE: Verknüpfungstafel
du kannst auf der tafel $\begin{eqnarray*} f(x) \circ g(x) \end{eqnarray*}$ ablesen, dann verknüpfst du das ergebnis mit der nächsten funktion, also $\begin{eqnarray*} (f(x) \circ g(x)) \circ h(x) \end{eqnarray*}$ .
nun schaust du, ob das das gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} f(x) \circ (g(x) \circ h(x)) \end{eqnarray*}$ .

betrachten wir mal folgenede verknüpfungstafel:
$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} \hline \hline * & a & b & c & d & e \\\hline a & a &b & c & d & e \\\hline b & b & c & d & e & a \\\hline c & c & d & e & a & b \\\hline d & d & e & a & b & c \\\hline e & e & a & b & c & d\end{tabular} \end{eqnarray*}$

nun lesen wir ab:

(a*b)=b, c*b=d, also (a*b)*c=d.

betrachten wir nun (b*c)=d und a*d=d, was bedeutet, dass a*(b*c)=d ist, so haben wir das assoziativgesetz.

ebenso kann man das inverse finden, das neutrale ist a, jettzt schauen wir in der zeile von b, wo da a auftaucht, in der letzten spalte, also ist e das inverse zu b.

analog kann man das mit allen anderen elementen machen.

30.10.2010, 15:39

Schnix91

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RE: Verknüpfungstafel
so ich hab jetzt die Tabelle gemacht und bewiesen dass es ein einselement e gibt und dass zu jedem Gruppenelement ein inverses besteht so dass a x a^(-1) -> e

meine probleme hab ich jetzt nur bei der assoziativität. und zwar ist doch (f2 x f3) x f5 nicht des gleiche wie f2 x (f3 x f5), da (f2 x f3) x f5 = f4 und f2 x (f3 x f5) = f1 ! ist es dann nicht assoziativ und somit keine Gruppe?

30.10.2010, 17:52

lgrizu

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RE: Verknüpfungstafel
sag mal, mir ist das vorher gar nicht aufgefallen, aber sind das wirklich die richtigen funktionen?

Zitat:

Original von Schnix91
Meine Frage:

Ich hab 6 Abbildungen f1:=x ; f2:= 1/x ; f3 := 1-x ; f4 := 1*(1-x) ;
f5:= (x-1)/x und f6:= x/(x-1)
und G:={f1...f6}

da wäre $\begin{eqnarray*} f_3=f_4 \end{eqnarray*}$ , und damit müsste $\begin{eqnarray*} f_3 \circ f_i = f_4 \circ f_i \end{eqnarray*}$ sein, das ist bei dir aber nicht so......

30.10.2010, 18:24

Schnix91

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RE: Verknüpfungstafel
Bei f4 muss es heißen, f4 = 1/(1-x)

Sorry mein Fehler... =)

30.10.2010, 18:29

lgrizu

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RE: Verknüpfungstafel
okay, ich hab jetzt leider keine zeit mehr, deine tabelle zu überprüfen, mach ich morgen.

ich melde mich dazu dann noch......

30.10.2010, 18:36

Schnix91

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RE: Verknüpfungstafel
cool vielen vielen Dank =)

31.10.2010, 10:09

lgrizu

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RE: Verknüpfungstafel

Zitat:

Original von Schnix91
so ich hab jetzt die Tabelle gemacht und bewiesen dass es ein einselement e gibt und dass zu jedem Gruppenelement ein inverses besteht so dass a x a^(-1) -> e

meine probleme hab ich jetzt nur bei der assoziativität. und zwar ist doch (f2 x f3) x f5 nicht des gleiche wie f2 x (f3 x f5), da (f2 x f3) x f5 = f4 und f2 x (f3 x f5) = f1 ! ist es dann nicht assoziativ und somit keine Gruppe?

deine gruppentafel ist richtig, aber was hast du denn hier gerechnet?

$\begin{eqnarray*} (f_2 \circ f_3) \circ f_5 = f_4 \circ f_5 =f_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2 \circ (f_3 \circ f_5) = f_2 \circ f_2 = f_1 \end{eqnarray*}$ , also gilt das assoziativgesetz.

ebenso kann man das dann weiter ablesen, so ist zum beisepiel:

$\begin{eqnarray*} (f_3 \circ f_4) \circ f_5 = f_6 \circ f_5 =f_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_3 \circ (f_4 \circ f_5)= f_3 \circ f_1 = f_3 \end{eqnarray*}$ .

01.11.2010, 13:09

Schnix91

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RE: Verknüpfungstafel
mein fehler Big Laugh