Konvergenz

28.10.2010, 17:11

Thomas00

Konvergenz

Guten Tag miteinander!

Ich habe eine Frage zum Wurzelkriterium.
Sei folgendes meine Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \end{eqnarray*}$

Hier wäre doch das Wurzelkriterium anzuwenden, um herauszufinden, ob die Reihe konvergiert oder nicht - oder?

Das Problem ist aber, dass ich die gesamte Reihe quadrieren müsste - nicht?
Aber ist die ursprüngliche Reihe äquivalent zu:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n+1}) - \sum\limits_{n=1}^{\infty} (\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ ?
..dann wäre der Fall klar, denn so könnte ich jeden Term quadrieren - andernfalls wäre ich froh, einen Tipp zu erhalten - bzw. zu erfahren, wo ich einen (Denk-)Fehler gemacht habe.

Vielen Dank und liebe Grüsse,
Thomas

28.10.2010, 17:25

René Gruber

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Zitat:

Original von Thomas00
Hier wäre doch das Wurzelkriterium anzuwenden, um herauszufinden, ob die Reihe konvergiert oder nicht - oder?

Das kann man vorher nicht immer so genau sagen:

Wurzel- und Quotientenkriterium versagen, wenn es Grenzwert 1 gibt - genau das ist hier aber der Fall. Mit etwas Erfahrung schränkt man die in Frage kommenden Kriterien (also die, mit denen man es probiert) schon vorher ein - Erfahrung, die man natürlich nicht von Anfang an hat.

Hier im konkreten Fall fruchtet etwas ganz anderes: Berechne die Partialsummen, und nutze dabei die Teleskopstruktur dieser Reihe.

29.10.2010, 14:55

Thomas00

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Vielen Dank - so hat es funktioniert. Die Reihe divergiert.

Eine Frage noch hierzu:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{{\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}}^{ \frac{1}{n}}} \end{eqnarray*}$

Das ist ja äquivalent zu:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{ {\frac{n!}{(2!(n-2)!}}^{ \frac{1}{n}}} \end{eqnarray*}$

Nach welchem Kriterium könnte man hier nach Konvergenz / Divergenz prüfen?
Das Quotientenkriterium (was ich genommen hätte) versagt, sofern ich keinen Fehler gemacht habe.

29.10.2010, 15:04

blue sky

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Pruefe zunaechst einmal ob die notwendige Bedingung fuer die Kgz der Reihe erfuellt ist!

Beachte: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray*}$

29.10.2010, 15:27

Thomas00

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Aber in der Wurzel steht ja nicht nur n.
Geht der limes trotzdem gegen 1?
..wenn ja, dann ist der Fall natürlich klar: Dann würde die Reihe nicht konvergieren. (Sie wäre dann alternierend.)

29.10.2010, 15:45

klarsoweit

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Kürze erstmal $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{2(n-2)!} \end{eqnarray*}$ . Dann nimmst du die n-te Wurzel und läßt n gegen unendlich gehen.

29.10.2010, 16:06

Thomas00

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Okey, gekürzt und berechnet ergäbe dies:
$\begin{eqnarray*} ... = \frac{1}{2}(n-1)n \end{eqnarray*}$

Die n-te Wurzel:
$\begin{eqnarray*} ( \frac{1}{2}(n-1)n )^{ \frac{1}{n} } = 2^{ \frac{1}{n}} ((n-1)n)^{ \frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Lässt man nun n gegen unendlich, so konvergiert dieser Teil tatsächlich gegen 0.
D.h., die Reihe ist nicht konvergent.

Korrekt so?

30.10.2010, 15:21

Thomas00

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Okey, ich fasse das mal als "ja" auf smile

Ich hätte noch eine Frage zu folgender Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+x^n} \end{eqnarray*}$ , wobei x aus R ohne {-1} ist.

Welches Kriterium ist hier anzuwenden?
Ich bin noch nicht wirklich weit gekommen: Ich habe das Quotienten- wie auch das Wurzelkriterium angewendet - ohne Erfolg.
Könnte hier die Teleskopsumme (Partialsumme) helfen?

30.10.2010, 17:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von Thomas00
Lässt man nun n gegen unendlich, so konvergiert dieser Teil tatsächlich gegen 0.

So? Wo doch jeder Faktor für n >= 2 größer als 1 ist.

Zitat:

Original von Thomas00
Ich hätte noch eine Frage zu folgender Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+x^n} \end{eqnarray*}$ , wobei x aus R ohne {-1} ist.

Für x > 1 gibt es eine einfache Majorante.

30.10.2010, 18:30

Thomas00

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Schreibfehler - tut mir Leid:
Lässt man nun n gegen unendlich, so konvergiert dieser Teil tatsächlich gegen 1.

Also.

für x > 0:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x^n} \end{eqnarray*}$ ist die geometrische Reihe und konvergiert.
Wegen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+x^n} \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x^n} \end{eqnarray*}$ ist unsere Reihe konvergent.

für x=1:
Ist unsere Reihe natürlich auch konvergent (1/2).

Wie aber behandelt man x<1?
Kann man sagen, dass hier die Reihe alternierend ist, und sie daher nicht konvergiert?
Oder konvergiert sie trotz abwechselnd positivem und negativem Nenner?

30.10.2010, 18:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von Thomas00
für x=1:
Ist unsere Reihe natürlich auch konvergent (1/2).

So?

Was passiert denn, wenn du beliebig oft 1/2 addierst?

Und wenn wir dabei sind: wohin konvergieren für |x| < 1 die Summnanden für n gegen unendlich?

31.10.2010, 12:05

Thomas00

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Ah - tut mir Leid!
Ich hatte vergessen, dass es sich um eine Reihe handelt (habe also das Summenzeichen ausser Acht gelassen...)

für x=1 divergiert die Reihe natürlich, weil sie immer 1/2 grösser wird.

Ah klar, und falls |x|<1 ist, dann konvergieren die Summanden für n gegen unendlich nach 0, d.h. also, dass die Reihe für |x|<1 konvergiert.
Super.

Danke vielmals für die Hinweise!

PS: Ich habe gesehen, dass mir wieder ein kleiner Schreibfehler unterlaufen ist bei dem letzten Post. Es sollte dort natürlich heissen: für x > 1.

31.10.2010, 12:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Thomas00
Ah klar, und falls |x|<1 ist, dann konvergieren die Summanden für n gegen unendlich nach 0, d.h. also, dass die Reihe für |x|<1 konvergiert.
Super.

Man faßt es nicht. unglücklich

Erstens konvergieren die Summanden für |x| < 1 nicht gegen Null.
Zweitens: selbst wenn es so wäre, ist das kein Kriterium für die Konvergenz der Reihe.
Ein kleiner Test für x=0 sollte dir eigentlich die Augen öffnen.

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