Stetigkeit einer FKT. |
| 17.06.2004, 15:25 | EinuserGast | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Stetigkeit einer FKT. ich bräucht mal grad bissel hilfe. x²-x / x²-3x+2 ich soll gucken ob die Fkt an der stelle 1 und 2 stetig ergänzbar ist. so würde ja 0/0 rauskommen und das ist ja nicht erlaubt, richtig? nur wie form ich diese doofe fkt um, das es nicht rauskommt? und noch ne kurze frage: ich muss ja von der linke und der rechten seite des grenzwertes gucken ..muss ich das bei 1 oder 2 überhaupt machen oder nur bei 0?? danke |
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| 17.06.2004, 15:29 | Atomrofl | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mach es so wie ich es gemacht habe! Es ist auf jeden richtig! ;-) |
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| 17.06.2004, 15:32 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Stetigkeit einer FKT. Ich vermute, es soll so heißen (du hast keine Klammern gesetzt): f(x) = (x²-x) / (x²-3x+2) Richtig? Jetzt zerlegst du Zähler und Nenner in Linearfaktoren. Im Zähler ist das ganz primitiv (x ausklammern), und im Nenner kannst du es mit Probieren (Satz von Vieta) oder Polynomdivision versuchen. Oder so: Da der Nenner sowohl die Nullstelle 1 als auch die Nullstelle 2 hat, kann man sowohl x-1 als auch x-2 abspalten. Na ja, jetzt habe ich doch alles verraten. |
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| 17.06.2004, 15:33 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du kannst die Funktion umschreiben, indem du Zaehler und Nenner in Faktoren zerlegst. Im Zaehler kannst du x ausklammern, im Nenner hast du die beiden Nullstellen 1 und 2, kannst den Nenner also als (x-1)(x-2) schreiben. Der Nenner ist zwar 0 an diesen beiden Stellen, aber der Zaehler nicht. An beiden Stellen ergaebe sich aber ein Ausdruck, der nicht definiert ist. ("0/0" ist nicht nicht erlaubt, sondern ist nicht definiert.) Die Stelle 0 ist hier relativ uninteressant, da die Funktion dort sicher stetig ist. Interessant sind hier nur die Stellen 1 und 2. Fuer diese beiden Stellen brauchst du jeweils den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert. |
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| 17.06.2004, 15:51 | EinuserGast | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank erstmal für die hilfe. (vor allendingen das umstellen von dem nenner) nun hab ich aber doch das problem bei x(x-1) / (x-1) * (x-2) das der beide Terme bei 1: 0/0 ergeben da ja oben (x-1) = 0 genauso wie unten (x-1) = 0 wird. so kann ich die 1 doch auch nicht links - rechts abschätzen.??!! bei der zwei hätte ich 2/0 = das würd ja "unendlich" bedeuten..??!! |
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| 17.06.2004, 15:53 | EinuserGast | Auf diesen Beitrag antworten » |
sorry mein fehler..hab übersehn dass ich kürzen kann |
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| 17.06.2004, 16:11 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » |
Richtig ist, dass bei x=1 der Ausdruck "0/0" entsteht, und bei x=2 der Ausdruck "2/0". Was sagt dir das ueber die Grenzwerte an den beiden Stellen? Du hast richtig erkannt, dass du den Faktor (x-1) kuerzen kannst. Was erhaeltst du dann? Was hat die neue Funktion mit der alten gemeinsam, was ist anders? Die einseitigen Grenzwerte kannst du theoretisch aber auch mit dem Faktor (x-1) berechnen - genau dafuer sind diese Grenzwerte ja da. Der Ausdruck "2/0" bei x=2 sagt dir, dass der Grenzwert an der Stelle unendlich ist, weil f(x) betragsmaessig immer groesser wird, je naeher das x an die Stelle 2 kommt, und dabei jeden Wert uebersteigt. |
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| 17.06.2004, 16:21 | EinuserGast | Auf diesen Beitrag antworten » |
Verwirrung?! Also der Ausruck "0/0" sagt mir das es nicht Definiert sei und Ausdurck 2/0 dass es unendlich ist. So, jetzt hab ich ja die neue G(x) Fkt. Nun würd ich dort X=1 einsetzen und bekäme = -1 raus. Wenn ich jetzt von der anderen Seite kommen würde, müsste ich die X zu -X machen? Genauso ist die Frage bei 2. |
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| 17.06.2004, 20:36 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sowohl "0/0" als auch "2/0" sind nicht definiert. Aber wenn ein Funktionsterm an einer Stelle den Ausdruck "0/0" ergibt, dann weißt du noch nicht, ob die Funktion an diese Stelle stetig fortsetzbar ist. Dazu musst du sie weiter untersuchen. (Das tun wir gleich.) Wenn aber der Ausdruck "2/0" an einer Stelle erscheint, dann ist ziemlich sicher (jedenfalls bei den Funktionen in der Schule), dass die Funktion nicht stetig fortsetzbar ist, weil eben das eintritt, was ich beschrieben habe: Die Funktionswerte werden in der Nähe dieser Stelle beliebig groß. (Das rechnen wir weiter unten noch aus.) Die Gemeinsamkeit zwischen f und g ist, dass sie im gesamten Definitionsbereich von f übereinstimmen. Der Unterschied ist, dass g zusätzlich an der Stelle x=1 definiert ist. Und da g an dieser Stelle stetig ist, mit dem Wert -1, kann man f stetig an diese Stelle fortsetzen: Mit dem Wert f(1) := -1. Mit der Aussage, dass g an der Stelle 1 stetig ist, hast du bereits die beiden einseitigen Grenzwerte von f erfasst: Da f und g für x <> 1 gleich sind, sind die beiden einseitige Grenzwerte für f und für g an der Stelle 1 einander gleich. Die Grenzwerte für g sind gleich dem Funktionswert g(1) = -1, wegen der Stetigkeit von g. Also sind die Grenzwerte von f gleich -1. Bei x=2 bist du in einer anderen Situation. Du untersuchst also erstmal den linksseitigen Grenzwert: Die Schreibweise bedeutet, dass h kleiner ist als 0 und von links gegen 0 konvergiert. Hier solltest du ausrechnen können, dass dieser Grenzwert gleich minus unendlich ist (beachte h<0 dabei!). Da der ein unendlicher Wert ist, brauchst du den rechtsseitigen Grenzwert nicht mehr ausrechnen, weil jetzt schon klar ist, dass man f nicht stetig nach x=2 fortsetzen kann. (Denn der Wert f(2) müsste ja gleich dem linksseitigen Grenzwert sein.) |
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