Konvergenzbeweis

28.10.2010, 17:55

lakritzstange

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Konvergenzbeweis

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:
Seien a_n und b_n zwei Zahlenfolgen ,die sich nur in endlich vielen Gliedern voneinander unterscheiden, d.h. für alle bis auf endlich viele n \in \mathbb N gilt a_n=b_n.
Zeige, dass dann a_n genau dann in K konvergiert wenn b_n in K konvergiert, und dass im Falle der Konvergenz die Grenzwerte dieser beiden Folgen übereinstimmen.

Meine Ideen:
Ich verstehe nicht so ganz, was das mit den endlichen Gliedern soll. Mir ist klar, dass die Folgen dann nicht identisch sind, aber ich verstehe nicht warum dann trotzdem a_n=b_n gelten soll.
Hat das "für alle bis auf endlich viele" keine Beudeutung bei meinem Beweis?

Vielen Dank für eure Hilfe

LG Lakritzstange

28.10.2010, 18:40

system-agent

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Ich sehe noch keinen Beweis.

Du hast irgendwelche zwei Folgen gegeben und die Voraussetzung besagt, dass "fast alle" Folgenglieder der beiden Folgen gleich sind. Das heisst es sind höchstens endlich viele ungleich.

Ein Beispiel solcher Folgen wären
$\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} b_n=\begin{cases}2010 & 1\leq n\leq 100000 \\ 0&\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

28.10.2010, 18:55

lakritzstange

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Ich muss ja eine Annahme machen, dass b_n konvergiert oder?
Sei epsilon >0 vorgegeben. Dann existiert mindestens ein N \in \mathbb N : /a_n-a/< epsilon für alle n>=N.
für b_n gilt ja dann das gleiche, weil ich ja n gegen unendlich laufen lasse und somit ist das "unterscheiden in endlich vielen Gliedern" nicht relevant oder?

28.10.2010, 19:08

system-agent

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Du hast schon Recht, nur man muss es auch formal aufschreiben.

Also nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
Nun sollst du zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert. Sei also $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gegeben.
Nun was kannst du über $\begin{eqnarray*} |b_n-a| \end{eqnarray*}$ aussagen?

28.10.2010, 19:11

lakritzstange

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Ich kann sagen, dass es auch kleiner als epsilon sein muss.
Ich habe sehr große Probleme so einen Beweis formal aufzuschreiben wenn ich ehrlich bin.
Mir fehlt oft das entscheidende.

28.10.2010, 19:23

system-agent

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Zitat:

Original von lakritzstange
Ich kann sagen, dass es auch kleiner als epsilon sein muss.

Das ist mir schon klar, aber der Aufschrieb ist wichtig, sonst verstehts sonst niemand Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} a_n\to a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ , also gibt es ein $\begin{eqnarray*} N_1\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ derart, dass ... für $\begin{eqnarray*} n\geq N_1 \end{eqnarray*}$ .
Weil die Folgenglieder fast überall gleich sind gibt es ein $\begin{eqnarray*} N_2\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ derart, dass für $\begin{eqnarray*} n\geq N_2 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} b_n=? \end{eqnarray*}$ gilt.

Was kannst du dann über $\begin{eqnarray*} |b_n-a| \end{eqnarray*}$ sagen für $\begin{eqnarray*} n\geq\max\{N_1,N_2\} \end{eqnarray*}$ ?

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28.10.2010, 19:55

lakritzstange

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Ich weiß es nicht genau.
Aber es muss an den Folgegliedern liegen, die fast überall gleich sind oder?
Sonst unterscheidet sich ja b_n in nichts anderem zu a_n.

28.10.2010, 20:06

system-agent

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Ja, das ist die Sache mit dem $\begin{eqnarray*} N_2 \end{eqnarray*}$ . Nun noch das für $\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ .

28.10.2010, 20:27

lakritzstange

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Ich weiß jetzt nicht ob ich da richtig liege, aber a_n muss ja dann mehr Folgeglieder in der Epsilon Umgebung haben als b_n.
Gilt dann N1>N2>n??

28.10.2010, 20:35

system-agent

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Nein.

Nochmals zu $\begin{eqnarray*} N_2 \end{eqnarray*}$ : Anschaulich ist das der Index ab dem alle folgenden Folgenglieder der beiden Folgen genau gleich sind.

Zu $\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ : Da $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq N_1 \end{eqnarray*}$ .

Du brauchst aber $\begin{eqnarray*} |b_n-a|<\epsilon \end{eqnarray*}$ . Ab welchem Index kann ich in der Differenz $\begin{eqnarray*} |b_n-a| \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ genausogut $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ schreiben?
Das heisst wie gross muss $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ dafür mindestens sein?

28.10.2010, 20:51

lakritzstange

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Wenn ab N2 alle Folgeglieder gleich sind, dann ist ja erst der Fall wenn N1=N2 oder?

28.10.2010, 20:58

system-agent

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Nein. Die $\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N_2 \end{eqnarray*}$ kannst du nicht mehr wählen. Die sind durch die Folgen und das vorgegebene Epsilon bestimmt. Ausserdem kommt es nicht sosehr darauf an was diese sind. Die Frage die du beantworten muss ist, was man für $\begin{eqnarray*} n>\max\{N_1,N_2\} \end{eqnarray*}$ alles mit der Differenz
$\begin{eqnarray*} |b_n-a| \end{eqnarray*}$
veranstalten kann.

Nochmals die Hinweisfragen dazu:
Zu was ist $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gleich falls $\begin{eqnarray*} n> N_2 \end{eqnarray*}$ ist? Nun ist aber mit $\begin{eqnarray*} n>\max\{N_1,N_2\} \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ grösser als $\begin{eqnarray*} N_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ .

28.10.2010, 21:12

lakritzstange

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b_n ist doch gleich a_n wenn n>=N2 oder?

28.10.2010, 21:20

system-agent

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Ja.

28.10.2010, 21:24

lakritzstange

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Vielen Dank für deine Hilfe.
Könntest du mir noch helfen, das ganze richtig aufzuschreiben?

Das wäre sehr nett

29.10.2010, 12:29

system-agent

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Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig gegeben.

Zitat:

Original von system-agent
Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} a_n\to a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ , also gibt es ein $\begin{eqnarray*} N_1\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ derart, dass ... für $\begin{eqnarray*} n\geq N_1 \end{eqnarray*}$ .
Weil die Folgenglieder fast überall gleich sind gibt es ein $\begin{eqnarray*} N_2\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ derart, dass für $\begin{eqnarray*} n\geq N_2 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} b_n=? \end{eqnarray*}$ gilt.

Damit folgt:
$\begin{eqnarray*} |b_n-a|=|?-a|<... \end{eqnarray*}$ und daraus folgt die Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

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