Dichte

28.10.2010, 19:01

eisley

Dichte

Hallo zusammen!

..ich schon wieder. geschockt

Aufgabenstellung:
Die gemeinsame Dichte von $\begin{eqnarray*} X=(X_1, X_2) \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f(x_1, x_2) = cx_1x_2, 0 \leq x_1 \leq x_2 \leq 2 \\ 0, sonst. \end{eqnarray*}$

Bestimme die Konstante c. Finde die marginalen Dichten von $\begin{eqnarray*} X_1, X_2 \end{eqnarray*}$ . Begründe, ob $\begin{eqnarray*} X_1, X_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind. Finde die Verteilung von $\begin{eqnarray*} Y = X_1 + X_2 \end{eqnarray*}$ .

Meine Lösung

also ich hab dann als erstes die Konstante c berechnet mit:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{x_1} \!( \int_0^{x_2} \! cx_1x_2 \, dx_1 ) \, dx_2 \end{eqnarray*}$

und erhalte: $\begin{eqnarray*} c=\frac{(x_1)^3x_2}{2} \end{eqnarray*}$

..nun zu den marginalen Dichten. Hier benötige ich eure Hilfe!

Um zu zeigen, ob $\begin{eqnarray*} X_1, X_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, habe ich folgendes Theorem herausgesucht:

Sei $\begin{eqnarray*} F_i \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X_i, i=1, ..., n \end{eqnarray*}$ . dann sind $\begin{eqnarray*} X_1, ..., X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig genau dann, wenn

$\begin{eqnarray*} F(x_1, ..., x:n)=F_1(x_1) \cdot ... \cdot F_n(x_n) \end{eqnarray*}$

..hier fängt alles ein bisschen an zu stocken. traurig

ich entschuldige mich für die vielen Fragen! aber es nützt mir hier wirklich viel, die Dinge interaktiv zu lösen..

liebe Grüsse eisley

28.10.2010, 21:35

org

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RE: Dichte
marginalen Dichten = Randdichte (?)

berechne erst die.

29.10.2010, 15:11

Huggy

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RE: Dichte

Zitat:

Original von eisley
also ich hab dann als erstes die Konstante c berechnet mit:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{x_1} \!( \int_0^{x_2} \! cx_1x_2 \, dx_1 ) \, dx_2 \end{eqnarray*}$

und erhalte: $\begin{eqnarray*} c=\frac{(x_1)^3x_2}{2} \end{eqnarray*}$

Was soll denn das? c muss doch eine Konstante sein. Du solltest noch mal über die Grenzen des äußeren Integrals nachdenken!

Zitat:

Um zu zeigen, ob $\begin{eqnarray*} X_1, X_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, habe ich folgendes Theorem herausgesucht:

Sei $\begin{eqnarray*} F_i \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X_i, i=1, ..., n \end{eqnarray*}$ . dann sind $\begin{eqnarray*} X_1, ..., X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig genau dann, wenn

$\begin{eqnarray*} F(x_1, ..., x:n)=F_1(x_1) \cdot ... \cdot F_n(x_n) \end{eqnarray*}$

Es genügt, das für die Randdichten zu zeigen.

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