Restklasse, Isomorphismus

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n! Auf diesen Beitrag antworten »
Restklasse, Isomorphismus
Hallo zusammen

Folgende Aufgabe steht an

Für ist

mit

eine Gruppe (Z ist die Restklasse)

Zeige: Es gibt einen Isomoprhismus

Ich habe mir folgendes überlegt. Es gibt ja 12 solcher "Paare", sodass man in jedem Fall eine bijektive Abbildung konstruieren kann. Ich habe mir folgendes gedacht:


.
.
.
(2,3) ist das letzte Paar

Ich habe jetzt folgende Frage: Muss die Summe von zwei Paaren denn aus sein? Wenn ich das Paar (1,3) und (2,2) verknüpfe, dann liegt (3,5) ja nicht mehr in der Menge und es gibt keinen Homomoprhismus (bijektivität ist ja für die Abbildung bewiesen).

Also kurz gefasst: Die Abbildung, die ich oben definiert habe ist nur dann ein Isomorphismus, wenn die Verknüpfung der Paare aus der besagten Menge liegt (das heißt alle Paare, die die Zahl 4 oder größer enthalten sind nicht enthalten)

Ist das richtig oder wo liegt der Denkfehler?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du den chinesischen Restsatz? Damit ginge es ohne viel Schreibaufwand Big Laugh Ansonsten steht im Link ja auch ein konkreter Isomorphismus...


Gruß, therisen
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Den Chinesischen Restsatz kenne ich, aber darf ihn nicht verwenden.Augenzwinkern Wie gesagt: Mich beschäftigt die Frage,ob die Verknüpfung aus der Menge sein muss. Wenn ja, dann hätte ich ja einen Isomoprhismus gefunden, oder nicht?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von n!
Für ist

mit

eine Gruppe (Z ist die Restklasse)

Hier liegt der Knackpunkt. Soll in diesem Zshg. eine Restklasse darstellen oder einen Repräsentanten derselben? Soll für z.B. oder sein oder sollen dann die Restklassen sein? Im ersten Fall müsste man



definieren. Ich denke aber eher, dass die Restklassen gemeint sind, da ja bedeutet, dass ein Element des Restklassenrings ist, und der besteht nunmal aus Restklassen. Wir ihr die bezeichnet, weiß ich nicht. Ich kenne die Schreibweise . In diesem Fall ist ja dann

.

Und damit lässt sich dann gut arbeiten ...
Aber wie sieht denn dein Isomorphismus nun aus?

Gruß MSS
n! Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS

und nun hast du den Knackpunkt getroffen.Augenzwinkern

Gemeint sind die Restklassen ja. In deinem Beispiel würde das Problem folgendes sein:



So und nun gilt nach meiner Definition von Phi



aber



Das widerspricht ja der Bedingung des Homomorphismus. Ich habe ja Phi quasi so definiert, dass ich jedem Paar (der Reihe nach) die Werte 0 bis 11 zugeordnet habe. Aber da wir hier ja mit den Klassen rechnen, gilt die Bedingung des Homomorphismus nicht immer Wie kann ich das evtl ändern?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Der Konsequenz wegen solltest du auch



und



schreiben.

Zitat:
Original von n!
[...] Das widerspricht ja der Bedingung des Homomorphismus. Ich habe ja Phi quasi so definiert, dass ich jedem Paar (der Reihe nach) die Werte 0 bis 11 zugeordnet habe.

Welcher Reihe nach hast du das denn zugeordnet? Ich würde einfach sagen, dass diese Abbildung kein Homomorphismus ist. Du musst einfach eine surjektive Abbildung finden, die zu einem Homomorphismus führt. Wer sagt, dass es die erstbeste, die man probiert (wie du es jetzt getan hast), auch gleich bringt? Augenzwinkern

Gruß MSS
 
 
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe die ganze Abbildung so definiert:














Damit ist die Abbildung ja bijektiv. Ich wollte halt überprüfen, ob sie auch homomorph ist. Aber sie ist es aufgrund des obigen Beispiels nicht. Sie wäre dann homomorph, wenn die Paare aus der Menge sein würden. Aber da es hier ja um Restklassen geht, sind sie ja auch in der Menge. Ich suche also einen geeigenten Homomorphismus
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, brauchst du eine andere Abbildung. Du suchst ja einen Homomorphismus . Für einen solchen muss ja auf jeden Fall immer sein. Nun kann man hier mal einen kleinen Trick anwenden: Was muss denn sein? Danach kannst du viele (evtl. sogar alle anderen, ich habs nicht vollständig durchgespielt) Bilder direkt berechnen.

Gruß MSS

PS: Ich mach's dir nach und lasse die eckigen Klammern mal weg. z.B. soll aber natürlich immer noch für die entsprechende Restklasse stehen und sei dann der kleinste nichtnegative Respräsentant der Restklasse , also z.B. (in ).
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Mach's dir doch leicht und zeige einfach einen Isomorphismus .
Die Abbildungsvorschrift habe ich dir mit dem Link zu Wikipedia sogar ebenfalls verraten Augenzwinkern
n! Auf diesen Beitrag antworten »

@therisen

jetzt wo du es sagst, aber ich liebe Brachialgewalt in der Mathematik.Augenzwinkern

Also dank den Denkanstäßen von Max, kann man so an die Sache gehen. Wir wissen, dass gilt (bzw gelten muss). Nun kann man sich überlegen was ist. Dazu benutzt man die Verknüpfung und die Überlegung, dass ist in . O ist wiederum kongruent zu 12 in . Also folgt: . Um alle anderen Werte noch zu berechnen ist der Wert von der Knackpunkt. Man muss sich nur klarmachen, dass kongruent zu 12,24,.. ist. Dann erhält man . Man erhält also alle Bilder














Also haben wir eine Abildung gefunden
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