natürliche Zahl oder irrationale Zahl?

28.10.2010, 20:34	belllaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
natürliche Zahl oder irrationale Zahl? Zeigen Sie: Für $\begin{eqnarray} k,n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{n} \end{eqnarray}$ entweder eine natürliche Zahl oder eine irrationale Zahl. Wie kann ich das denn am besten zeigen bzw. beweisen Dankee schoo maaa
28.10.2010, 20:45	Philipp Imhof	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: natürliche Zahl oder irrationale Zahl? Am einfachsten gehst du vom Beweis aus, dass $\begin{eqnarray} \sqrt2 \end{eqnarray}$ irrational ist, und erweiterst diesen dann. Falls dir der nicht mehr geläufig ist: Angenommen, $\begin{eqnarray} \sqrt2 \end{eqnarray}$ sei rational, dann wäre $\begin{eqnarray} \frac ab=\sqrt2 \end{eqnarray}$ mit teilerfremden ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Damit wäre dann $\begin{eqnarray} a^2=2b^2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} a^2 \end{eqnarray}$ und somit auch $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ eine gerade Zahl. Sei $\begin{eqnarray} k\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 2k=a \end{eqnarray}$ , dann ist also $\begin{eqnarray} 2b^2=(2k)^2=4k^2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} b^2=2k^2 \end{eqnarray}$ und deshalb $\begin{eqnarray} b^2 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ gerade. Ein Widerspruch zur Annahme, $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ seien teilerfremd. EDIT Es gibt natürlich nicht nur einen Beweis dafür, dass $\begin{eqnarray} \sqrt2 \end{eqnarray}$ irrational ist; auch wenn meine Ausdrucksweise das fälschlicherweise impliziert....
28.10.2010, 20:59	belllaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: natürliche Zahl oder irrationale Zahl? ich muss aber jetzt nicht $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ nehmen ich kann auch $\begin{eqnarray} \sqrt{1} \end{eqnarray}$ nehmen oder ist ja genauso irrational
28.10.2010, 21:05	Philipp Imhof	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: natürliche Zahl oder irrationale Zahl? Nein, $\begin{eqnarray} \sqrt1 \end{eqnarray}$ ist nicht irrational. Rechne mal.... ;-) Bei Wurzeln (aus natürlichen Zahlen) ist es eigentlich so: Entweder sie sind natürlich, oder sie sind irrational. Der Beweis von $\begin{eqnarray} \sqrt2 \end{eqnarray}$ lässt sich z. B. gut umbauen, um die Irrationalität von $\begin{eqnarray} \sqrt3 \end{eqnarray}$ zu zeigen. Oder diejenige von $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ . Versuche das mal und überlege dann, wie du das verallgemeinern kannst.
28.10.2010, 21:13	belllaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: natürliche Zahl oder irrationale Zahl? bin schon ziemlich kaputt nach meinem anstrengenden unitag hahaha okay aber wenn ich $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ habe dann ist es irrational,aber wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} \sqrt[2]{9} \end{eqnarray}$ das wäre ja eine natürliche zahl oder muss k=3 sein
28.10.2010, 21:15	Philipp Imhof	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: natürliche Zahl oder irrationale Zahl? Du sollst es ja für beliebige natürliche k und n zeigen. Im Moment sind wir eher so in einer Beispiel-Phase, aus der heraus sich dann die Beweisidee entwickeln soll. Und die Aufgabenstellung erwähnt ja schon, dass beides passieren kann: natürliche Zahl oder irrationale Zahl.
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28.10.2010, 21:26	belllaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: natürliche Zahl oder irrationale Zahl? tut mir leid,dass ich grad so aufm schlauch stehe also bei einem beweis setzte ich ja nicht einfach irgendwelche zahlen ein und schau dann ok ist etwas irrational oder nicht.. wie kann ich,dass denn sonst zeigen könntet ihr bitte n ansatz geben
28.10.2010, 21:31	Philipp Imhof	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: natürliche Zahl oder irrationale Zahl? Dass du auf dem Schlauch stehst, braucht dir nicht leid zu tun; das haben wir alle von Zeit zu Zeit. Schade ist, dass du irgendwie nicht so wirkst, als ob du meinen Tipp umsetzen möchtest: Bitte baue doch jetzt mal den Beweis, den ich für $\begin{eqnarray} \sqrt2 \end{eqnarray}$ gegeben habe, so um, dass du damit z. B. explizit die Irrationalität von $\begin{eqnarray} \sqrt3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{5} \end{eqnarray}$ zeigst. Wenn du das dann hast, versuche, den Beweis so umzubauen, dass du direkt mit $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{n} \end{eqnarray}$ arbeiten kannst. Also: Sei $\begin{eqnarray} \frac ab=\sqrt[k]{n} \end{eqnarray}$ mit ggT(a,b)=1. Dann gilt ......... und eben das, was du da zu schreiben hast, wirst du herausfinden, wenn du den Beweis mal mit zwei, drei Beispielen gemacht hast.

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