logarithmische Gleichung

28.10.2010, 20:45

heko3

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logarithmische Gleichung

Hallo zusammen,

hab die Woche Logarithmus- und Exponentialfunktionen im Schnelldurchlauf durchgenommen.

Ich hab folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 3^{3x}-4\cdot3^{2x+1}-3^{x+2}+4\cdot3^{3}=0 \end{eqnarray*}$

Ich hab die Gleichung aufgeteilt:

$\begin{eqnarray*} 3^{3x}=3^{3}+log_{3}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot3^{2x+1}=4\cdot3^{1}\cdot(3^{2}+log_{3}x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3^{x+2}=3^{2}\cdot log_{3}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot3^{3}=108 \end{eqnarray*}$

In der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 27+log_{3}x-12(9+log_{3}x)-9log_{3}x+108 =27-20log_{3}x=0 \end{eqnarray*}$

aber irgendwie kommt bei mir kein vernünftiges Ergebnis.
Was mach ich dabei falsch?
Kann ich $\begin{eqnarray*} log_{a} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} exp_{a} x \end{eqnarray*}$ denn überhaupt gleichzeitig in einer Gleichung verwenden?

Schönen Gruß,
heko3

28.10.2010, 22:38

Gualtiero

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RE: logarithmische Gleichung

Zitat:

Original von heko3
Ich hab die Gleichung aufgeteilt:

$\begin{eqnarray*} 3^{3x}=3^{3}+log_{3}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot3^{2x+1}=4\cdot3^{1}\cdot(3^{2}+log_{3}x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3^{x+2}=3^{2}\cdot log_{3}x \end{eqnarray*}$

Nein, stimmt nicht. Das kannst Du ganz leicht feststellen, indem Du für x z. B. 3 einsetzt.

Klammere 3^x aus und substituiere, dann hast Du eine kubische Gleichung. Davon bestimme die Nullstellen.
Dann rücksubstituieren.

28.10.2010, 22:40

Q-fLaDeN

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RE: logarithmische Gleichung

Zitat:

Original von heko3
Ich hab die Gleichung aufgeteilt:

$\begin{eqnarray*} 3^{3x}=3^{3}+log_{3}x \end{eqnarray*}$

geschockt

Wie kommst du denn darauf?

Und was bitte soll $\begin{eqnarray*} exp_{a} x \end{eqnarray*}$ sein? Sowas gibt es nicht.

Versuch lieber mal

$\begin{eqnarray*} z = 3^x \end{eqnarray*}$

zu substituieren.

30.10.2010, 18:36

heko3

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RE: logarithmische Gleichung

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Und was bitte soll $\begin{eqnarray*} exp_{a} x \end{eqnarray*}$ sein? Sowas gibt es nicht.

OK, hab die Klammer um x vergessen:
$\begin{eqnarray*} exp_{a} (x) \end{eqnarray*}$

Ich hab den Ausdruck so gelernt als Exponentialfunktion von x zur Basis a > 0. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gestern hab ich mich noch mit einem anderen Kollegen unterhalten, und der hat es mir bisschen einfacher erklärt.

Da ich in der Gleichung

$\begin{eqnarray*} 3^{3x}-4\cdot3^{2x+1}-3^{x+2}+4\cdot3^{3}=0 \end{eqnarray*}$

x bestimmen soll, bin ich zum folgenden Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} log_{3}3^{3x}-log_{3}4-log_{3}3^{2x+1}-log_{3}4-log_{3}3^{3}=0<br /> 3x-log_{3}4-2x-1-log_{3}4-3=0<br /> x-2log_{3}4-4=0<br /> x=2log_{3}+4 \end{eqnarray*}$

Stimmt dass, oder mach ich noch was falsch, weil ich es noch immer nicht verstanden hab?

Darf man eigentlich Null logarithmieren?
Ich hab gelernt, dass wenn ich auf der einen Seite der Gleichung was durchführ, sowas wie logarithmieren, dann muss ich das auch auf der anderen Seite machen, oder täusch ich mich da?
Wenn ich im Taschenrechner Null logarithmieren will, dann bringt er mir ERROR, oder tipp ich das bloß falsch ein?

P.S.: Außerdem versteh ich nicht, wieso ich ständig was ausklammern soll.
Wahrscheinlich hab ich noch nicht das mathematische Verständnis. Hammer

Hammer

30.10.2010, 18:50

Q-fLaDeN

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RE: logarithmische Gleichung

Zitat:

Original von heko3

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Und was bitte soll $\begin{eqnarray*} exp_{a} x \end{eqnarray*}$ sein? Sowas gibt es nicht.

OK, hab die Klammer um x vergessen:
$\begin{eqnarray*} exp_{a} (x) \end{eqnarray*}$

Ich hab den Ausdruck so gelernt als Exponentialfunktion von x zur Basis a > 0. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja mir war schon klar, dass du das so meinst, das wäre dann aber eine sehr sehr komische Notation, die ich so noch nie gesehen habe. Denn normalerweise verwendet man

$\begin{eqnarray*} \exp (x) = e^x \end{eqnarray*}$

als die Exponentialfunktion, und da kann sich nicht einfach mal die Basis wechseln. Wenn ihr das so definiert habt, nun gut, aber sehr komisch.

Zitat:

Original von heko3
Da ich in der Gleichung

$\begin{eqnarray*} 3^{3x}-4\cdot3^{2x+1}-3^{x+2}+4\cdot3^{3}=0 \end{eqnarray*}$

x bestimmen soll, bin ich zum folgenden Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} log_{3}3^{3x}-log_{3}4-log_{3}3^{2x+1}-log_{3}4-log_{3}3^{3}=0<br /> 3x-log_{3}4-2x-1-log_{3}4-3=0<br /> x-2log_{3}4-4=0<br /> x=2log_{3}+4 \end{eqnarray*}$

geschockt

Das ist ja noch falscher. Du kannst doch nicht jeden einzelnen Summanden logarithmieren, wenn du die komplette Gleichung logarithmierst. Normal stünde dann da

$\begin{eqnarray*} \log (3^{3x}-4\cdot3^{2x+1}-3^{x+2}+4\cdot3^{3})=\log (0) \end{eqnarray*}$

und es gilt nicht $\begin{eqnarray*} \log(a+b) \stackrel{?}{=} \log (a) + \log (b) \end{eqnarray*}$ mal abgesehen davon, dass man hier gar nicht logarithmieren darf, denn rechts steht eine 0, $\begin{eqnarray*} \log (0) \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert. (Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen).

Zitat:

Original von heko3
Ich hab gelernt, dass wenn ich auf der einen Seite der Gleichung was durchführ, sowas wie logarithmieren, dann muss ich das auch auf der anderen Seite machen, oder täusch ich mich da?

Das stimmt.

Zitat:

Original von heko3
P.S.: Außerdem versteh ich nicht, wieso ich ständig was ausklammern soll.

Warum denn nicht, was spricht dagegen? (Hier würde ich aber wirklich davon abraten, denn du müsstest danach das ganze wieder ausmultiplizieren, was also dann wenig Sinn machen würde). Du musst ein wenig davon wegkommen, gleich zu logarithmieren, wenn du ein x im Exponenten siehst, das ist kein Indikator dafür, dass man die Gleichung durch logarithmieren lösen kann.

Und warum nimmst du unsere Tipps nicht an? Substituiere $\begin{eqnarray*} 3^x = z \end{eqnarray*}$ , das führt zu einer Gleichung 3. Grades.

30.10.2010, 19:00

heko3

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RE: logarithmische Gleichung

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Und warum nimmst du unsere Tipps nicht an? Substituiere $\begin{eqnarray*} 3^x = z \end{eqnarray*}$ , das führt zu einer Gleichung 3. Grades.

Sorry, wenn ich Euch damit gekränkt hab, aber ich bin seit über 10 Jahren aus der Übung und versuch es so einfach wie möglich zu machen. Big Laugh

Big Laugh

Ehrlich, ich will Eure Tipps nicht ignorieren, sonst würd ich nicht hier schreiben, aber ich will es verstehen, damit ich mein Studium besteh.

Also, gib mir paar Minuten Zeit, und ich versuch die Gleichung durch Substitution zu lösen.
Ich hoffe, dass ich mich richtig ausgedrückt hab.

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30.10.2010, 19:36

Q-fLaDeN

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Eins kannst du uns glauben: Wenn wir helfen, machen wir es auch so einfach wie möglich, und geben Tipps, so einfach wie möglich. Warum sollte man denn etwas schwerer machen als es ist? Du brauchst also nicht zu glauben, wir geben Lösungshinweise zu Lösungswegen, die viel schwerer sind als andere Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann überleg mal, das schaffst du schon.

30.10.2010, 19:37

heko3

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RE: logarithmische Gleichung
Also, soweit bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} z = 3^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{3}-4\cdot z^{3}-z^{2}+108=0<br /> -3z^{3}-z^{2}+108=0 \end{eqnarray*}$

Wie man die Nullstellen einer Funktion 2. Grades bestimmt hab ich noch im Kopf, nämlich über die Diskriminante.

Aber wie mach ich das bei Funktionen höheren Grades?
In der Fachliteratur steht was von "Lotto spielen", quasi die erste NSt durch ausprobieren finden, dann die Gleichung durch Polynomdivision um ein Grad erniedrigen mit $\begin{eqnarray*} (x-x_{1}) \end{eqnarray*}$ .

Hab aber Null Ahnung. Geht des auch einfacher oder muss ich da durch?

30.10.2010, 19:43

Q-fLaDeN

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Da musst du durch, aber wenn, dann auch richtig. Es ist

$\begin{eqnarray*} 3^{3x}-4\cdot 3^{2x+1}-3^{x+2}+4\cdot 3^{3} = 3^{3x}-12 \cdot 3^{2x} -9 \cdot 3^x + 4 \cdot 3^3= 0 \end{eqnarray*}$

Verstehst du warum? Versuchs nun nochmal mit dem Substituieren.

30.10.2010, 20:02

heko3

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OK.
Ich zieh 3 sooft heraus wieviel zu x dazugerechnet wird.
Rein theoretisch könnt ich es auch mit der Zahl vorm x machen, oder?

$\begin{eqnarray*} \left(3^{m}\right)^{n}=\left(3^{n}\right)^{m} \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich durch Substitution:

$\begin{eqnarray*} z^{3}-12z^{2}+9z+108=0 \end{eqnarray*}$

Nun jud, kappiert, aber wie komm ich nun vom 3. zum 2. Grad?

P.S.: Kann ich eigentlich was machen, dass Matheboard mich nicht ständig rauswirft? Wird langweilig sich immer anzumelden oder ist es zwecks Sicherheit?

30.10.2010, 20:12

Q-fLaDeN

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Fast richtig, nur ein Vorzeichen ist noch falsch, es müsste lauten

$\begin{eqnarray*} z^{3}-12z^{2}-9z+108=0 \end{eqnarray*}$

Nun heißt es Nullstelle raten und anschließend Polynomdivision mit dem Linearfaktor der Nullstelle. Um die Nullstelle zu raten, versucht man gewöhnlicherweise zuerst Teiler des Absolutgliedes, hier also 108. Deshalb ist die Linearfaktorzerlegung der 108 recht praktisch und wir schreiben

$\begin{eqnarray*} z^{3}-12z^{2}-9z+4 \cdot 3^3=0 \end{eqnarray*}$

nun versuch mal eine Nullstelle zu finden.

30.10.2010, 20:37

heko3

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Ich weiß nicht, wieso ich das eine Vorzeichen vertauscht hab, weil auf meinem Zettel steht auch Minus. Also hatte ich es doch richtig. Rock

Rock

NSt finden war einfach.
$\begin{eqnarray*} z_{1}=3 \end{eqnarray*}$

Also dividier ich die linke Seite der Gleichung mit $\begin{eqnarray*} (z-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (z^{3}-12z^{2}-9z+108)/(z-3)=z^{2}+9z+18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(z^{3}-3z^{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9z^{2}-9z+108 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(9z^{2}-27z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 18z+108 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(18z-54) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 162 \end{eqnarray*}$

Kann mich aber nicht mehr dran erinnern, was man macht, wenn was übrig bleibt.
Hilfe?

30.10.2010, 20:45

René Gruber

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Es ist ein Vorzeichenfehler in deiner Rechnung, der dann leider auch zu Folgefehlern in der Rechnung führt:

Dritte Zeile $\begin{eqnarray*} -9z^2-9z+108 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 9z^2-9z+108 \end{eqnarray*}$ .

30.10.2010, 20:53

heko3

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Ich dachte, dass ich meine ausgerechnete Zeile von der darüberliegenden abziehen muss und deshalb das veränderte Vorzeichen.

$\begin{eqnarray*} -(z^{3}-3z^{2})=-z^{3}+3z^{2} \end{eqnarray*}$

oder zieh ich das ohne Vorzeichenänderung ab?

30.10.2010, 20:55

René Gruber

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Richtig - und wie groß ist nun $\begin{eqnarray*} -12+3 \end{eqnarray*}$ ? Ist das $\begin{eqnarray*} +9 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -9 \end{eqnarray*}$ ? LOL Hammer

LOL Hammer

30.10.2010, 21:05

heko3

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So, nachdem Du mich verunsichert hast, hab ich es nochmal mit TR nachgerechnet.
$\begin{eqnarray*} -12+3=-9 \end{eqnarray*}$

Hab ich doch so geschrieben,... moment, ich weiß jetzt was Du meinst. Blöd. Natürlich muss ich mit dem weiterrechnen, was ich vorher rausbekommen hab. Blöder Leichtsinnsfehler. Hammer

Hammer

30.10.2010, 21:11

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, denn eine noch längere Diskussion um diesen von mir doch sehr konkret benannten und lokalisierten Fehler hätte ich auch nicht mehr mitgemacht. unglücklich

unglücklich

30.10.2010, 21:29

heko3

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Oday. Hab jetz die Lösung.
Hoffentlich stimmt's jetzt.

Aufgabe:
Bestimme alle NSt. von $\begin{eqnarray*} 3^{3x}-4\cdot3^{2x+1}-3^{x+2}+4\cdot3^{3}=0 \end{eqnarray*}$

Substitution: $\begin{eqnarray*} z=3^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{3}-12z^{2}+9z+108=0 \end{eqnarray*}$

PD:
$\begin{eqnarray*} (z^{3}-12z^{2}+9z+108)/(z-3)=z^{2}-9z-36 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -z^{3}+3z^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -9z^{2}-9z+108 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9z^{2}-27z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -36z+108 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 36z-108 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{2/3}=\frac{9\pm\sqrt{81-(-144)}}{2}=\frac{9\pm15}{2} \end{eqnarray*}$

Lösungen:
$\begin{eqnarray*} z_{1}=3<br /> z_{2}=12<br /> z_{3}=-3 \end{eqnarray*}$

Danke vielmals für Eure Hilfe. Mit Zunge

Mit Zunge

30.10.2010, 21:40

René Gruber

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Soweit stimmt es nun - jetzt nur nicht die Rücksubstitution vergessen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.10.2010, 21:46

heko3

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Ach ja, hab natürlich das Wichtigste vergessen. Rücksubstituieren und logarithmieren!

$\begin{eqnarray*} z_{1}=3^{x}=3<br /> x=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{2}=3^{x}=12<br /> x=log_{3}(3\cdot4)=1+log_{3}4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{3}=3^{x}=-3<br /> x=-1 \end{eqnarray*}$

Wobei ich beim letzten mir nicht ganz sicher bin.

30.10.2010, 21:48

René Gruber

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Zitat:

Original von heko3
$\begin{eqnarray*} z_{3}=3^{x}=-3<br /> x=-1 \end{eqnarray*}$

Wobei ich beim letzten mir nicht ganz sicher bin.

Da tust du gut dran - mach doch mal die Probe. Bzw. überleg dir, ob diese Gleichung überhaupt reelle Lösungen haben kann.

30.10.2010, 21:58

heko3

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Eigentlich gibt es dafür keine reellen Zahlen, denn Zahlen < 0 können nicht logarithmiert werden, weil sie nicht definiert sind. Alle Logarithmusfunktionen verlaufen rechts der y-Achse, quasi 1. + 4. KO-Quadrant.

Aber was schreib ich dann?

30.10.2010, 22:07

René Gruber

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Dass hinter dieser dritten Substitutlösung keine Originallösung steckt - kommt vor. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.10.2010, 22:11

heko3

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Also schreib ich dann nicht definiert.

30.10.2010, 22:14

René Gruber

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Wie man das aufschreibt, ist Geschmackssache. Man kann z.B. bereits bei der Substitution $\begin{eqnarray*} z = 3^x \end{eqnarray*}$ feststellen, dass $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ da nur positiv reell sein kann. Also interessiert man sich auch nur für die positiv reellen Lösungen der Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^{3}-12z^{2}-9z+108=0 \end{eqnarray*}$

und spart sich ganz diese dritte Rücksubstitution.

30.10.2010, 22:26

heko3

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Da ich zur Übung mehrere solcher Aufgaben hab, hab ich folgende probiert:

$\begin{eqnarray*} 10^{2x}-101\cdot10^{x}+100=0 \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} z=10^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{2}-101z+100=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{101\pm\sqrt{10201-400)}}{2}=\frac{101\pm99}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1}=1<br /> z_{2}=100 \end{eqnarray*}$

Bei der Rücksubstitution erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} z_{1}=10^{x}=1<br /> x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{2}=10^{x}=100<br /> x=2 \end{eqnarray*}$

Beim Einsetzen in die Ausgangsgleichung erhalte ich 0=0.
Also muss meine Lösung stimmen.

Stimmt's oder hab ich recht? Prost

Prost

30.10.2010, 22:31

heko3

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hätt ich da was schwierigeres, in meinen Augen zumindest, weil ich nicht wirklich weiß, was ich damit anstellen soll.

Gleiche Aufgabenstellung. NSt bestimmen.

$\begin{eqnarray*} 4sin^{2}x+3cosx-\frac{9}{2}=0 \end{eqnarray*}$

Wie fang ich an?
Was kann ich darin sehen?

Das einzige, was ich noch weiß ist
$\begin{eqnarray*} sin^{2}x+cos^{2}x=1 \end{eqnarray*}$

31.10.2010, 11:18

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch schonmal ein guter Anfang.

Ersetze $\begin{eqnarray*} \sin^2 (x) \end{eqnarray*}$ mit dem von dir genannten Ausdruck, dann wieder substituieren und du erhältst eine quadratische Funktion.

31.10.2010, 15:31

heko3

Auf diesen Beitrag antworten »

Gestern Abend hatte ich wohl zu viele Informationen auf einmal und konnte nicht mehr richtig denken.

Die Aufgabe ist ganz einfach:
$\begin{eqnarray*} sin^{2}x+cos^{2}x=1<br /> sin^{2}x=1-cos^{2}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4(1-cos^{2}x)+3cosx-\frac{9}{2}=0<br /> 4-4cos^{2}x+3cosx-\frac{9}{2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=cosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4z^{2}+3z-\frac{9}{2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=\frac{-3\pm\sqrt{9-4\cdot(-4)\cdot(-\frac{1}{2})}}{2\cdot(-4)}=\frac{3\pm1}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1}=\frac{1}{4}<br /> z_{2}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Kann man wieder Rücksubstituieren? Geht es weiter als
$\begin{eqnarray*} z_{1}=cosx=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ?

31.10.2010, 15:43

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

31.10.2010, 16:10

heko3

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätt da noch eine letzte Aufgabe dieser Art.
Leider weiß ich nicht so genau, wie ich anfangen soll.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x-}-\sqrt{x-1}=1 \end{eqnarray*}$

Mein erster Gedanke war zu substituieren oder etwas ausklammern, aber irgendwie funktioniert das nicht so richtig.

$\begin{eqnarray*} (2x-4)^{\frac{1}{2}}-(x-1)^{\frac{1}{2}}=1 \end{eqnarray*}$

Ich wollte evtl. logarithmieren, aber jeden einzelnen darf ich ja nicht, außerdem wüßte ich nicht zu welcher Basis.
Ansonsten fällt mir nichts ein.

Danke schon im Voraus für Eure Hilfe. Wink

Wink

31.10.2010, 16:17

Q-fLaDeN

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Auf jeden Fall hast du schonmal erkannt, dass es mit den von dir genannten Methoden nicht geht und warum nicht, das ist schonmal ein guter Fortschritt.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x-4}-\sqrt{x-1}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x-4}=\sqrt{x-1}+1 \end{eqnarray*}$

Nun kannst du mal quadrieren.

31.10.2010, 16:45

heko3

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x-4}-\sqrt{x-1}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x-4}=\sqrt{x-1}+1 \end{eqnarray*}$

Im Grunde genommen ist es doch egal, ob man die eine Wurzel auf die andere Seite bring solang man die Vorzeichen beim Quadrieren beachtet. Wenn ich das mach, kommt bei mir immer

$\begin{eqnarray*} x=4 \end{eqnarray*}$

Aber ist es wirklich sooo einfach?

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