Injektivität Kosinus/Sinus Abbildung

28.10.2010, 21:19	Hugo1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität Kosinus/Sinus Abbildung Meine Frage: Hallo zusammen, ich verstehe leider nicht, warum folgende Abbildung injektiv sein soll: f : [0,2pi[ -> R², x -> (cos(x), sin(x)) (sorry, aber ich komme mit dem Latex-Programm nicht wirklich klar) Meine Ideen:* Die Abbildung f stellt in diesem Fall ja einen Kreis dar, der wegen 0 (< =) x < 2pi nicht geschlossen ist. Aber es müsste doch x (< =) pi gelten, damit die Zielmenge nicht doppelt vorhanden und die Abbildung somit injektiv ist. Durch die Beschränkung von x < 2pi könnte der Kreis doch annährend geschlossen sein. Würde mich über Erläuterungen sehr freuen.
29.10.2010, 08:39	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität Kosinus/Sinus Abbildung Hallo Hugo, Wenn Du x aus dem Intervall $\begin{eqnarray} [0,2\pi] \end{eqnarray}$ zulässt, so ist $\begin{eqnarray} f(0)=f(\pi) \end{eqnarray}$ und die Abbildung somit nicht injektiv. Wenn die Argumente aber nur aus dem Intervall $\begin{eqnarray} (0,2\pi] \end{eqnarray}$ stammen, dann gilt für alle $\begin{eqnarray} x_1,x_2\in (0,2\pi] \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} \|x_1-x_2\|<2\pi \end{eqnarray}$ und damit müssen auch die Funktionswerte immer verschieden sein (wie man sich durch Betrachtung von Sinus und Cosinus klarmachen kann). Gruß, Reksilat.

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