Polynom in Grad

Neue Frage »

Taladan Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom in Grad
Ich habe folgende Aufgabe

Sei V ein Vektorraum der Polynome vom Grad kleinergleich 3 über IR.
Seien
p1 = T^2 + 1
p2 = T^3 + T + 1
p3 = T^3 + T^2 + T
p4 = T + 1
Beweisen sie das p1...p4 ein erzeugendensystem von V ist.


Ich wandle die Polynome in eine Matrix um (muß ich die dann eigendlich aufsteigend sortieren? Ändert ja eigendlich nichts am ergebnis, oder?). Wenn ich diese per Zeilenumformung ändere, habe ich die einheitsmatrix. Diese ist dann vom Rang 4. Damit kann das Gleichungssystem oben doch kein erzeugendensystem von IR kleiner gleich 3 sein, da das ja vorraus setzt das dies Rang 3 hat. Oder liege ich da falsch?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Grad 0 nicht vergessen
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Moment kurze Verständnisfrage. Rang(X) bedeutet doch, das es X Pivot Positionen gibt oder?

Und bedeutet doch, das es sich um Vektoren mit 3 oder weniger Zeilen über IR handelt. Oder nicht?

Was hat das dann mit Rg(0) zu tun?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht hier um Polynome vom Grad <= 3. Eine Basis wäre {1,x,x^2,x^3}
Das hat gar nichts mit Vektoren mit Zeilen oder sowas was du aus der Schule kennst zu tun.
Rang und Grad ist auch etwas anderes.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Also ich kenne keine Polynome aus der Schule. Kannst du mir denn bitte einmal kurz erzählen was Rang und Grad deutet. Wenn ich dich richtig stehe ist mein lösungsansatz dann auch wohl komplett falsch.

Zitat:
Es geht hier um Polynome vom Grad <= 3. Eine Basis wäre {1,x,x^2,x^3}


Ja und p1...p4 sind doch eben solche polynome, aber es wurden halt nur ein paar felder nicht mit berücksichtigt da der Koeffizient 0 ist. Oder bin ich gerade völlig auf dem Holzweg.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente aus haben die Form , mit .
Wenn Du zeigen willst, dass ein Erzeugendensystem von ist, musst Du zeigen, dass man jedes Element aus als Linearkombination dieser vier Elemente angeben kann. Diese Darstellung kann man nun konkret konstruieren, oder man zeigt eben irgendwie, dass die Menge eine Basis bildet und argumentiert dann geeignet. - Ich weiß ja nicht, wie weit Ihr in der Vorlesung schon seid.

Gruß,
Reksilat.
 
 
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reksilat
Die Elemente aus haben die Form , mit .
Wenn Du zeigen willst, dass ein Erzeugendensystem von ist, musst Du zeigen, dass man jedes Element aus als Linearkombination dieser vier Elemente angeben kann. Diese Darstellung kann man nun konkret konstruieren, oder man zeigt eben irgendwie, dass die Menge eine Basis bildet und argumentiert dann geeignet. - Ich weiß ja nicht, wie weit Ihr in der Vorlesung schon seid.

Gruß,
Reksilat.


Da wir noch nicht mit Basen gearbeitet haben probiere ich das mal so.

Sei und sei eine des linearen Gleichungssystem aus p1...p4. So muß gelten


Beweiß:

[lin Gleichung umwandlen in Einheitsmatrix 4x4 und zurückschrieben in Vektoren p_1 .. p4]

Ist das ungefähr korrekt?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Taladan
Sei

Zum letzten Mal: In sind Polynome der Form , keine Vektoren aus dem .
Zitat:
und sei eine des linearen Gleichungssystem aus p1...p4. So muß gelten
Hä?
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche es mal ohne Mathe zu erklären, was ich versuche. Evtl verstehe ich das falsch. Ich soll doch beweisen, das die Polynome p1 + p4 ein erzeugendensystem bilden. Dazu muß ich dieses doch in eine Matrix umwandeln und in Treppenormalform (hier Einheitsmatix) bringen. Dann wandle ich die Treppennormalform wieder zurück in eine gleichung und erhalte das je ein Glied eine 1 hat. (ich wollte oben den umweg über vektoren machen, aber das ich vielleicht unnötig?). diese ergebnisse habe ich oben a_1 genannt.

dann fehlt mir aber eigendlich der zwischenschritt. wie ich von zu V also den Vektorraum komme.

Oder ist meine herangehensweise komplett falsch

Da das ganze Script was wir gerade bearbeiten nur mit vektoren zu tun hat, bin ich immer davon ausgegangen das ich das auch irgendwie mit vektoren lösen muß.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

V enthält gerade diese Polynome. Die haben eben nicht die Schreibweise der Vektoren die du aus der Schule kennst. Deswegen lernt man in der Uni ja auch was ein Vektorraum abstrakt ist.

In Matrix schreiben etc. ist schon korrekt. Du hast ja auch Rang 4 rausbekommen in deinem Startbeitrag. Jetzt musst du eben noch feststellen dass dein Vektorraum Dimension 4 hat, nicht Dimension 3 wie du aufgrund des Namens vermutet hast.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Dimension meinst du den Rang der Matrix?
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Taladan
Mit Dimension meinst du den Rang der Matrix?


Einfach ignorieren.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie stelle ich fest, das der Vektorraum vier Dimensionen hat? Das Polynom geht von T0 ... T3, heißt das, das es vier Dimensionen hat? Ich hatte in der Schule keine Polynome. Daher fällt mir das wohl auch so schwer, nicht das das heißt, das mir die andere Mathe einfacher fällt..
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

also, dein vektorraum hat eine basis, die 4 elemente enthält, diese ist .

das bedeutet, dass er 4-dimensional ist, 4-basiselemente....


so viel zu dimension.

nun kann man, da muss ich kiste leider korrigieren, den vektorraum der polynome auch als vektoren beschreiben, wie man sie aus der schule kennt, ist gerade bei linearer codierung auch von vorteil.

du kennst deine vektoren als vektoren der form .

nun kann man den vektorraum der polynome vom grad kleiner/gleich 3 auch so auffassen:

, damit wäre die basis gegeben durch die einheitsvektoren.

vielelicht fällt es dir einfacher, das dann zu begreifen.

der vektorraum der polynome vom grad kleiner/gleich drei ist isomorph zum .

edit: ach so, vergessen:

Zitat:
Original von Taladan
Und wie stelle ich fest, das der Vektorraum vier Dimensionen hat? Das Polynom geht von T0 ... T3, heißt das, das es vier Dimensionen hat? Ich hatte in der Schule keine Polynome. Daher fällt mir das wohl auch so schwer, nicht das das heißt, das mir die andere Mathe einfacher fällt..


wieso 4 dimensionen? er hat eine dimension und die ist 4.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Ok neuer Versuch für die Aufgabe von oben.

Ich wandle erst die die Polynome in lineare Gleichung um. Diese dann in eine Matrix und wandle diese dann in die EInheitsmatrix. [Ich schreib es, damit es kürzer wird].

Dann wandle ich die einzelnen Zeilen wieder in Polynome um und erhalte






Jetzt wird es wieder holprig da ich immer noch nicht so genau weiß wie es weiter gehen muß

Für alle gibt es also ein und das

ist.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Taladan
Ok neuer Versuch für die Aufgabe von oben.

Ich wandle erst die die Polynome in lineare Gleichung um. Diese dann in eine Matrix und wandle diese dann in die EInheitsmatrix. [Ich schreib es, damit es kürzer wird].

Dann wandle ich die einzelnen Zeilen wieder in Polynome um und erhalte






Jetzt wird es wieder holprig da ich immer noch nicht so genau weiß wie es weiter gehen muß

Für alle gibt es also ein und das

ist.


das verstehe ich nicht.....
im besonderen folgendes:

Für alle gibt es also ein und das

ist.

wieso denn x aus den reellen zahlen?
..und ist bei dir X gleich x..?

du musst zeigen, dass du mit der linearkombination jedes polynom vom grad kleiner oder gleich 3 darstellen kannst....

edit: bei polynomen kann man noch recht einfach die isomorphie des vektorraums der polynome vom grad n zum vektorraum ausnutzen....
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Danke das ihr euch so viel Zeit nehmt. Mir fällt das echt schwer, aber ich will es auch verstehen und nicht nur hin schreiben können. Und ich habe leider auch niemanden anderen außer euch, den ich Fragen kann unglücklich . Meine Freundin hat versucht mir zu helfen, also probiere ich es mit folgenden.




Aus den Vektoren wird nun eine Matrix geformt


Nach umformung erhalte ich dann


was dann wiederum

und wenn dann
ergibt.

Dann sollte doch gelten

a_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + a_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + a_4 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}

Und damit sollte doch dann erwiesen sein das ich mit den Polynomen p1...p4 jeden Vektor über erreichen kann?

Wenn das nicht richtig sein sollte, ist überhaupt ein Lösungsansatz richtig? Ich fange jedes mal wieder bei Null an und verzweifle tatsächlich langsam, wie man das zeigen soll traurig .
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

also, wenn du benutzen willst, dass der raum der polynome vom grad kleiner gleich 3 isomorph ist zum vierdimensionalen vektorraum über dem gleichen körper, dann ist folgende schreibweise falsch:


.

das polynom , würde also dem vektor entsprechen.

entsprechend die anderen polynome, deine vektoren sind richtig.

nun kann man prüfen, ob die vektoren ein erzeugendensystem des sind, dann sind die polynome auch ein erzeugendensystem des vektorraums der polynome vom grad kleiner gleich 3.

das folgende ist die richtige argumentation:
Zitat:
Original von Taladan


Aus den Vektoren wird nun eine Matrix geformt


Nach umformung erhalte ich dann


was dann wiederum


Dann sollte doch gelten





damit kann man mit den vektoren jeden vektor des darstellen, wegen isomorphie folgt dann, dass die polynome ein erzeugendensystem bilden.


versuch das ganze jetzt mal ohne den weg über den zu gehen und betrachte die linearkombination:

.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Dann Probiere ich es mal als Polynom

Was ist das dann? 0?

Oder auch umgestellt könnte ich dann schreiben,


Aber was muß ich nun machen? muß ich nun abhängigkeiten berechnen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

nun kannst du dir überlegen, ob man mit jede beliebige reelle zahl darstellen kann, ebenso für die anderen koeffizienten.

wenn ja, dann ist wohl jedes polynom vom grad kleiner gleich 3 durch eine geeignete linearkombination der vier polynome darstellbar....
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
nun kannst du dir überlegen, ob man mit jede beliebige reelle zahl darstellen kann, ebenso für die anderen koeffizienten.


Klar kann man. Durch geschickte Wahl . Aber wie kann man das Zeigen? Muß ich dafür eine echte Zahl einsetzen?

Oder wirklich so vorgehen?
oder alternativ



Ich fühle mich echt als hätte ich ein Brett vor dem Kopf.
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Reicht es nicht aus, T0...T4 als linearkombination zu sehen mit einem Zeilenergebis von je 1 und dann so lange umstellen bis man ein Ergebnis hat?

Also so?

Dann hätte ich doch als Ergebnis das a_1=a_2=a_3 = 1/2 sind und a_4 = 0?

Wäre das falsch?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Taladan
Dann Probiere ich es mal als Polynom

Was ist das dann? 0?


ja, dass muss 0 werden
ein polynom ist genau dann null, wenn jeder der koeffizienten 0 wird, durch koeffizientenvergleich erhält man also das LGS:




.

nun kann man das LGS lösen.

es sollte herauskommen, dass sind, dann bilden deine polynome eine basis, und damit auch ein erzeugendensystem.
Daniel Lucarz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom in Grad
Kann das sein das die 2.6 Aufgabe vom Modul Mathematische Grundlagen ist?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom in Grad
Auch wenn ich keine Ahnung habe, von welchem Kurs und welcher Uni Du redest, so halte ich es nicht für ausgeschlossen, dass es wirklich diese Aufgabe ist. Aber warum ist das jetzt von Bedeutung?
verwirrt

Gruß,
Reksilat.
Daniel Lucarz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom in Grad
Weil ich an der selben Aufgabe bin und wir uns dann evt gegenseitig helfen könnten weil wir dann den selben Kurs haben. D.h. die selbe Vorlesung.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom in Grad
Das hat mit dieser Aufgabe aber nichts zu tun. So was könnt Ihr per PN klären. In diesem Thread geht es vorrangig um das Lösen einer Aufgabe.

btw.: Ich kenne eine Möglichkeit, wie Du mit ganz vielen anderen Leuten in Kontakt kommen kannst, die ebenfalls diesen Kurs besuchen. Augenzwinkern
Taladan Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze wird sogar einfach zu lösen wenn man die nächste Kurseinheit zu rate zieht. Und wenn ich es jetzt doch falsch gemacht habe, ist es eh zu spät. Aber wir bekommen ja Beispielantworten... hoffentlich.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

im zweifel hättest du die lösung heranziehen können, die die isomorphie zum R^4 benutzt.

ich selbst finde einen koeffizientenvergleich um einiges weniger aufwendig.

hast du denn das lgs noch gelöst?
hast du herausbekommen, dass a_1=a_2=a_3=a_4=0 ist?
hast du dann daraus geschlossen, dass die polynome linear unabhängig sind und da die dimension des vektorraums 4 ist du eine basis des vr der polynome vom grad kleiner gleich 3 hast, also auch ein erzeugendensystem?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »