Stochastik (bedingte Wahrscheinlichkeiten)

29.10.2010, 09:51

porzelaine

Stochastik (bedingte Wahrscheinlichkeiten)

Meine Frage:
Einem Indianerstamm sagt man nach, dass 60% des Stammes eine Hakennase haben, 45% Plattfüße und 70% gute Bogenschützen sind.
Unter den Stammesangehörigen gibt es

20% gute Bogenschützen mit Plattfüßen und Hakennase
10% gute Bogenschützen mit Plattfüßen ohne Hakennase
20% gute Bogenschützen mit normalen Füßen und Hakennase
10% schlechte Bogenschützen mit Plattfüßen ohne Hakennase

Trapper Geierschnabel hat einen Blutsbruder im Stamm. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sein Blutsbruder plattfüßig, wenn er

a) ein guter Bogenschütze ist,
b) eine Hakennase hat,
c) ein schlechter Schütze mit Hakennase ist?

Meine Ideen:
Ehrlich gesagt habe ich keinen richtigen Ansatz unglücklich

Habe erste an eine Vierfeldertafel gedacht, aber konnte sie nicht richtig aufstellen. Habt ihr einen Lösungsansatz?

29.10.2010, 10:04

Mazze

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Man geht an solche Aufgabe heran, wie an alle in der Stochastik, erst einmal ordentlich aufschreiben was gegeben und was gesucht ist. Es gibt 3 Ereignisse

A : Hakennase
B : Plattfüße
C : Guter Bogenschütze

Zudem kennen wir wegen

Zitat:

Einem Indianerstamm sagt man nach, dass 60% des Stammes eine Hakennase haben, 45% Plattfüße und 70% gute Bogenschützen sind.

die Wahrscheinlichkeiten P(A),P(B),P(C)

Aus

Zitat:

20% gute Bogenschützen mit Plattfüßen und Hakennase
10% gute Bogenschützen mit Plattfüßen ohne Hakennase
20% gute Bogenschützen mit normalen Füßen und Hakennase
10% schlechte Bogenschützen mit Plattfüßen ohne Hakennase

können wir die Wahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} P(A,B,C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\neg A, B,C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A,\neg B, C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\neg A,B,\neg C) \end{eqnarray*}$

bestimmen. Insbesondere können wir auch die Wahrscheinlichkeit der Komplementärereignisse dieser vier bestimmen. Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} P(B|C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B|A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B|A,\neg C) \end{eqnarray*}$

Wie die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert ist , solltest Du wissen. Nutze die Definition um herauszufinden welche Wahrscheinlichkeiten du bestimmen musst.

29.10.2010, 10:20

porzelaine

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Nun habe ich alle Komplementärereignisse bestimmen können, danke smile

Für a) suche ich also zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit von B in Abhängigkeit von C. Bedeutet die günstigen Ereignisse durch die möglichen Ereignisse. Und für a) ist es irrelevant, ob der Blutsbruder eine Hakennase hat oder nicht oder? Also müsste es zwei mögliche Ereignisse geben oder?

Vielen Dank für deine schnelle und übersichtliche Hilfe smile

29.10.2010, 10:24

Mazze

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Kennst Du denn überhaupt die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ?

Das ist sie, und diese musst Du auf die gesuchten Wahrscheinlichkeiten anwenden.

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Für a) suche ich also zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit von B in Abhängigkeit von C. Bedeutet die günstigen Ereignisse durch die möglichen Ereignisse

Ich sehe hier nirgends eine Gleichverteilung.

29.10.2010, 10:33

porzelaine

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Aber deine Formel würde doch bedeuten, dass P(B|A)=P(A) oder versteh ich hier was falsch? :S

29.10.2010, 10:46

René Gruber

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Zitat:

Original von porzelaine
Aber deine Formel würde doch bedeuten, dass P(B|A)=P(A) oder versteh ich hier was falsch?

Völlig falsch, das kann man aus dieser Formel in keinster Weise herauslesen. unglücklich

Für den Überblick: Den Grundraum kann man in $\begin{eqnarray*} 2^3=8 \end{eqnarray*}$ nichtleere Dreierdurchschnitte der drei Ereignisse A,B,C und/oder deren Komplemente unterteilen. Deren Wahrscheinlichkeiten sind durch die 7 Angaben der Aufgabenstellung plus der Eigenschaft, dass die Summe aller 8 Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist, eindeutig bestimmbar - quasi eine lineares 8x8-Gleichungssystem. Das muss man nun nicht für jede Aufgabenstellung aufstellen und vollständig lösen, aber es ist praktisch der im Hintergrund wirkende Mechanismus zur Lösung dieser und ähnlicher Aufgaben.

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